다른 방식으로 접근해 봤습니
N. 보기가 N개, i)N 답이 N개일때, 위에 0 1 2 3 4 는 선택한 보기의 갯수 입니다
1. i)1 0 1 은 보기가 1개이고 답이 1개일때 0개를 선택하면 0점 1개를 선택하면 1점 이런식으로 확률이 아닌 경우의 수로 정리해봤습니다
잘 보이실지 모르겠지만 보면 각각의 경우에 선택한 보기의 갯수에 대한 경우의 수 들을 보면 항상 상하대칭적으로 숫자가 나옵니다
보기가 4개일때 까지만 구했지만 뭐 더이상 안구해봐도 비슷하게 나오겠죠
즉, 정답의 갯수가 0개인 경우가 존재하면 몇개를 선택하든 각각의 경우의 기대값은 0이 됩니다
단 정답의 갯수가 0개인 경우가 존재 하지 않는다면 맨 밑줄들을 빼고 기대값을 구해야겠죠
이러면 기대값이 (보기 선택갯수)/(보기 선택에 따른 경우의수-1) 이 되겠네요
보기 선택에 따른 경우의 수를 구해 보면 정답이 0개거나 보기의 갯수만큼일때는 한가지밖에 존재하지 않고
그렇지 않을때는 n개의 보기에서 k개 만큼 선택할 경우 nCk만큼이 각각 존재하니까
k개를 선택하게 되면 (n-1)nCk+2 만큼의 경우의 수가 있네요
(이 부분은 텍스트만으로 설명이 어렵네요;;)
여튼 k/(n-1)nCk+2-1 이 n개의 보기가 있을때 k개만큼 찍었을 경우의 기대값이네요
n에 7을 넣고 k에 0~7까지 넣어보면
0/7 1/43 2/126 3/211 4/211 5/126 6/43 7/7
이되서 모두 정답이라고 하는게 기대값이 1로 가장 크네요