알바를 하다가 문득 생각난건데..

삼촌네 편의점 알바 대타를 뛰다가 문득 생각난걸 여기에 옮깁니다.

동전을 몇번 던진다고 해서 던진 횟수중 앞면과 뒷면이 각각 절반이 되지 않을 확률이 높지만, 동전을 무한히 던지면 앞면이 절반 나오고 뒷면이 절반 나오게 된다라고 들었거든요.

그렇다면 제가 생각하기에 동전을 많이 던질수록 반반이 될 확률이 높아질거 같았습니다.

그래서 제가 동전을 던전서 반반이 나올 확률을 구해봤습니다. (확률 계산하는건 몰라서 파스칼의 삼각형을 그려서 구했습니다.)

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 11 55 165 330 462 463 330 165 55 11 1

1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1

2번 던졌을때 2/4=0.5

4번 던졌을때 6/16=0.375

6번 던졌을때 20/64=0.3125

8번 던졌을때 70/256=0.2734375

10번 던졌을때 252/1024=0.24609375

12번 던졌을때 924/4096=0.2255859375

어... 오히려 떨어졌군요.

던지는 횟수가 많아지면 많아질수록 각각의 경우의 수 확률(앞면과 뒷면이 반반, 앞면이 3번나오고 나머지는 뒷면 등)은 떨어졌습니다.

던질때마다 확률의 가짓수가 하나씩 늘어나면서 이런일이 생긴거 같습니다.

이제는 동전을 무한히 던지면 앞면이 반, 뒷면이 반이 나온다는게 거짓 같군요.

이번엔 동전을 무한히 던졌을때의 가짓수를 한번 그려봤습니다.

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 ∞ ...(무한히 많은 ∞이 배열된다.)...∞ 1

무한히 던져서 앞면이 딱 한번만 나와 나아갈 확률은 ∞/∞을 무한히 더한수+2 겠네요.

"∞을 무한히 더한수"는 무한을 켜켜이 쌓은 무한

음... 그러니까 그냥 ∞이 일차원의 밀도를 가진 무한이라 부른다면 "∞을 무한히 더한수"는 이차원의 밀도를 가진 무한이라고 할수 있겠네요.

계산을 해보면 ∞/(이차원의 밀도를 가진∞+2)=1/∞

앞뒷면이 반반인 상태로 나아가는 무한이든,

앞면이 1257번 더나온 상태로 나아가는 무한이든

무한히 많은 가짓수중 하나가 나올 확률은 모두 1/∞이군요.

무한히 던져서 앞면만 나올 확률과 뒷면만 나올 확률은 1/(이차원의 밀도를 가진∞) 이네요.

모든 가짓수의 확률을 더하면 1이니 계산해보면

2/(이차원의 밀도를 가진∞)+{(1/∞)*∞}=1 이라는 공식이 나옵니다.

2/(이차원의 밀도를 가진∞)를 무시하면

(1/∞)*∞=1

0을향해 끝없이 나아가는 수를 무한정 쌓으니 1이 나오게 되네요.

처음으로 되돌아가 봅시다. 동전을 무한히 던졌을때 정확히 반반씩 나오면 앞면이 나온 수는 ∞/2입니다.

앞면이 3651번 덜 나오면 ∞/2-3651

앞면이 123456789번 더 나오면 ∞/2+123456789

우리가 보기에 ∞/2, ∞/2-3651, ∞/2+123456789 모두 똑같은∞으로 보입니다.

하지만 무한한 경우의수를 가진 확률에서는 각각 다른 경우의 수입니다.

제가내린 결론은 동전을 무한번 던지든, 주사위를 무한번 던지든 간에 무한번의 도전은 각각의 확률을 가르쳐 주지 않습니다.

주사위를 무한히 던지는데 6이 단한번만 나올 경우의 수도 분명히 존재하니까요.

하지만, 0바로 앞의수 만큼의 가능성만 있으면 무한히 시도해보면 최소한 한번은 실현 됩니다.

동전을 무한히 던져나가는데 한번도 뒷면이 안나왔다면 뒷면이 나올확률은 0이라 단언할수 있겠죠.

제 생각은 여기서 끝납니다. 한번 필이 꽃혀서 결론을 내릴때가지 이 생각만 붙잡았군요.

고등학교1학년 이후 수학은 거들떠도 안본 백수의 생각입니다.

제가 보기에는 그럴듯 하지만 수학, 논리적 오류가 있을거 같으니 여기에 씁니다. 없으면 땡큐구요.