문제 출처는 서울대 특기자 문제인데 중간에 막히네요

원래 행렬문제인데 중간에 f'(x)구해야 되는 부분이 있어 질문 올립니다.

f(x+y)=2f(x)f(y)

f(0)=1/2

f'(x)를 어떻게 구해야 되죠? 아무리 머리 굴려도 답이 안나오네요