1. 모든 수의 0승은 왜 항상 1일까? - 많은 수학 선생님 혹은 교수님들은 모든 수의 0승은 항상 1이라고 옛날 수학자들이 그렇게 약속, 정의 한 것이라고 설명을 해주시고 있다. 하지만 상식적으로 생각하면 어떤 수의 0승은 당연 0으로 밖에 보이지 않는다. 2의 1승은 2, 2의 2승은 4, 2의 0승은 0 이라고 오류 답변이 나오게 된다. 2의 0승은 2를 0번 곱한 것 이니까 0이겠네?? 라고 많은 분들이 말해주신다. 지금부터 왜 지수법칙은 항상 0승은 1인지 논리적으로 설명을 해보자면, 일단 크게 두가지로 나누어 보겠습니다. - 첫째. 중학교 과정 이하로 설명 어떤 수를 x로 가정한다. x의 6승 ÷ x의 2승 = x의 4승 x의 2승 × x의 3승 = x의 5승 이것은 지수법칙에 관한 내용들이다. ( x의 n승 × x의 m승 = x의 (n+m)승 ) ( x의 n승 ÷ x의 m승 = x의 n-m승 ) 그런데 만약, 계산하는 지수들이 같다라고 가정해보자. 예를 들어 2의 6승 ÷ 2의 6승이라고 한다면 결과는 1이 나온다. 같은 부분에 같은 부분을 나누면 1이 나온다는 수학 상식으로도 풀 수 있는 문제. 하지만 이것을 지수법칙에 적용하면 2의 6-6승 = 2의 0승이 되버린다. 즉, 2의 0승은 1이 된다는 소리이다. - 둘째. 중학교 과정 이상으로 설명 어떤 수를 x로 가정한다. x의 0승 = x의 1승 × x의 -1승 이라고 가정할 때, 여기서 지수법칙에 의해 x의 1승 × x의 -1승 = x의 1+(-1)승 = x의 0승 즉, 위의 식은 증명이 된다. 그런데 x의 1승 × x의 -1승 = x 곱하기 1/x = 1이기 때문에 x의 0승은 1이 된다. -------------------------------------------------------------------- 2. 왜 0.999… 는 1이 될까? - 상식적으로 생각해보면, 0.999…는 무언가가 1보다 작을 것 같지만 수학적으로 계산하면 1이 된다. 왜 그럴까? 일단, 알기 쉽게 설명을 해드리자면 고등학교에서 배우는 극한이라는 부분을 배우면 더욱 더 이 부분이 이해가 잘 가게 됩니다. 0.999… 이 부분은 무한대 이라는 부분입니다. 즉, 끝도 없고 무한대로 계속 커지고 있다는 수이죠. 무한대를 짧게 설명하면 어떤 사람이 가장 큰 수를 썼느데 그 수에다가 +1를 하면 또 그것보다 큰 수가 됩니다. 즉, 무한대라는 것은 끝이 없죠. 즉 말 그대로 정해져 있지 않기 때문에 1이라고 볼 수가 있는 것입니다. 무한대로 계속 커지고 있기 때문이죠. 아무리 뭔가가 비어있다고 생각해도 그 수는 계속 9999… 커지고 있기 때문이죠. 이걸 공식으로 설명을 해보자면, 0.9(순환소수)는 9/9 = 1 이라는 공식이 나오고 극한으로 설명을 해드리자면, lim(n->∞) 9 ∑ (0.1)의 k승[k=1] = 9 × 0.1/1-(0.1) = 1 이므로 0.999… = 1이 맞습니다. -------------------------------------------------------------------- 3. 허수, 그것의 정체는? - 고등학교 과정에는 허수라는 부분이 나오고 있습니다. 허수는 간단히 말하면 가상의 수라는 것이지요. 예를들어, √안에는 음수가 나올 수 없다고 중학교 과정에서는 배우지만 고등학교 가서는 들어 갈 수 있다고 하죠. 이게 바로 허수를 뜻합니다. √-2 이런 식으로요. i = √-1 이라고 가정을 한다면 i²= -1 , i³= -√-1 , i⁴= 1이 되버립니다. 또 i의 5제곱은 다시 -1이 되어서 순환하는 규칙도 있구요. 자, 짧게 허수에 대해서 설명을 했습니다만, 허수는 도데체 어디에 쓰일까요? 수학자들이 만든 가상의 수.. 현실세계에서는 존재도 안되는 가상의 수.. 물론 음수부터 현실세계에서는 존재할 수 없는 수기는 하지만요. 하지만, 허수는 예외가 다릅니다. 허수에 가장 쓰이는 부분은 바로 기하학에 많이 쓰이지요. 현실세계에서는 비행기 착륙하기 위해 계산하는 부분에서도 많이 쓰인다고 하네요. 허수는 간단히 말해 가상의 수기는 하지만, 가상의 수라는 것이 우리에게는 정해지지 않았기 때문에 수학자들이 일부러 정해놓은 것은 아닐까요?.. 우리를 괴롭히게 하기 위해.. 어쨌든 허수가 생겨남으로써 복소수(실수 + 허수가 같이 쓰인 수) 라는 개념도 생겨나고 수학도 더욱 발전할 수 있었기 때문에 허수라는 것은 어찌 보면 당연한 결과일 수도 있었겠네요. 허수는 명확히 이해할려고 하면 할수록 더욱 더 이해안가는 것이 현실입니다. " 어째서 제곱하면 음수가 나오지? " 라는 궁금증은 허수를 배우면서 궁금증은 더욱 더 생겨날 수도 있겠네요. 허수는 측정할 수가 없습니다. 이미 가상의 수이기 때문에 측정도 불가할 뿐더러 상상의 수이기 때문이죠. 즉, ±√1은 +1도 되고 -1도 되지만, ±√-1은 +1도 아니고 -1도 아닌 상황이 되버립니다. 측정이 불가하기 때문이죠. 간단히 말하자면요. 뭐.. 대충 설명하자면 이렇게 되겠네요. . . 이외에도 여러가지 미스테리하고 이해안가는 부분들이 많습니다만 많은 분들이 헷갈리는 3가지를 뽑아서 적어놓았습니다. 오류가 있거나 궁금하신 점들은 댓글로!