모든 여자들은 "백마탄 왕자"를 꿈꾼다. 그렇다면 여자들은 그 "백마탄 왕자"를 찾기위해 언제까지 튕길 수 있을까? 한 여성에게 100명의 남자가 순차적으로 프로포즈 한다고 하자. 100명 중 "백마탄 왕자"는 단 한 명뿐! 물론 그가 몇번째로 프로포즈를 해 올지는 알 수 없다. 여자가 100명의 남자를 다 만나보고 그 중 제일 멋진 남자를 고른다는 건 너무 불공평하니까 프로포즈한 남자를 튕기면 다시는 그 남자를 선택할 수 없다고 하자. 즉 99명의 남자를 다 튕겨버렸다면 100번째 프로포즈하는 남자와 결혼 하는 수 밖에 없고 첫번째 남자의 프로포즈를 받아드리면 다른 99명의 남자가 어떤 남자인지 보지도 못한다. 그렇다면 여자에게는 전략이 필요하다. 몇 명까지는 일단 튕겨보고 그 다음부터 만나는 남자 중 제일 멋진 남자와 결혼 하기로 한다. P(B) = 여자가 백마 탄 왕자를 선택할 확률 P(A1) = 백마 탄 왕자가 첫번째로 프로포즈 해올 확률 ... P(A100) = 백마 탄 왕자가 백번째로 프로포즈 해올 확률 여자가 백마 탄 왕자를 정확하게 선택할 확률은: P(B)=P(A1)*P(B|A1)+P(A2)*P(B|A2)+……+P(A100)*P(B|A100) 여자가 우선 r명까지는 튕겨보고 그 다음부터 만나는 남자 중 제일 멋진 남자와 결혼하기로 했다고 하자. 그러면 P(B|A1)=P(B|A2)=……=P(B|Ar)=0 당연히 처음 r명 안에 백마 탄 왕자가 있었다면, 이 여자의 작전은 완전 실패! OTL r+1번째로 백마 탄 왕자가 프로포즈 해 왔다면 r명까지 튕긴 여자는 이전에 본 r명보다 더 멋진 남자를 바로 만나버린 거니까 백마 탄 왕자를 선택할 확률은 100% r+2번째에 백마 탄 왕자가 있는데 r+1번째 프로포즈 한 남자가 이전에 튕견 r명보다 나은 남자였다면, 여자는 전략상 그냥 r+1번째 남자의 프로포즈를 받아들이게 되고 그러면 백마 탄 왕자는 보지도 못하니까 또 전략상 실패다. 따라서 백마 탄 왕자의 프로포즈를 받기 위해서는 r+1번째 남자가 처음 r명보다 나은 남자여서는 안된다. 즉 백마 탄 왕자보다 앞서서 프로포즈 하는 남자 중 가장 괜찮은 남자는 처음 r번째 이내에 있어야 한다. 따라서 확률은 r/(r+1). 이런 식으로 생각해 보면, 백마 탄 왕자가 백 번째로 프로포즈 해올 때 여자가 백 번까지 기다려서 그 왕자를 선택할 확률은 r/99. 따라서, P(B|A(r+1))=1=r/r P(B|A(r+2))=r/(r+1) ... P(B|A100)=r/99 이 결과들을 처음 식에 대입하면, 99 1 r ∑ --- * --- x=r 100 x 이것이다. 드디어 r에 관한 함수가 나왔다. 연속적으로 생각해서 적분을 하자. 99 1 r ∫ --- * --- dx r 100 x r 99 = --- * [ln x] 100 r r = --- * [ln 99 - ln r] 100 우리는 위의 값을 최대로 만드는 r값을 찾는 것이니까 상수항과 계수는 신경을 쓰지 않아도 된다. 미분을 해보자. d --- r(ln 99) - r(ln r) = 0 dr = ln 99 - (ln r + 1) = 0 = ln r = ln 99 - 1 ∴ r = 99/e ≒ 36.42 답이 나왔다. 36명이다. 보통 한 여자에게 프로포즈 하는 남자가 10명이라고 하면 여자는 최초 3명까지는 튕겨볼 수 있어도 4명부터는 튕겨서는 안 된다는 계산이 나온다. 사실 10명도 많다. 보통 여성에게 프로포즈 하는 남자가 5명쯤 된다면 처음 한 명은 튕겨 볼 수 있으나 두번 째 남자가 첫번 째 남자보다 낫기만 하다면 받아들여야 하는 것이다. 그런데도 여자가 튕긴다면 그 여자 앞에 연습장 펼쳐 놓고 미분적분 한번 해 주는 것도 좋을 것이다. P.S. : 그니까 여자들아,, 팅기지 마라고! ㅎㅎ