애가 닳는 남자의 끈질긴 구애에도 불구하고 튕기는 여자에게 확률에 관한 짧은 수학을 사용해 사귀자는 청을 논리적으로 받아들이게 해보자.
상황 설정은 이러하다.
한 여자에게 100명의 남자가 순차적으로 프로포즈 한다고 가정하자. 100명 중 백마탄 왕자는 한명 뿐이고, 여자는 그 남자를 찾고 싶어한다.
물론 그 남자가 첫번 째로 프로포즈할지 100번 째로 프로포즈를 해 올지는 알 수 없다. 여자가 100명의 남자를 일렬로 세워놓고 그 중 제일 멋진 남자를 입맛대로 고른다는 건 비현실적이거니와 또 너무 불공평하니까 한 번 프로포즈한 남자를 튕기면 다시는 그 남자를 선택할 수 없다고 하자.
즉 만약 더 나은 남자가 있을 거라는 기대감에 99명의 남자들의 프로포즈를 계속해서 거절했다면 100번째 프로포즈하는 남자와 결혼하는 수 밖에 없다는 설정이다. 물론 그 반대로 첫번째 남자의 프로포즈를 낼름 받아드리면 99명의 남자가 어떤 남자인지 볼 수 있는 기회조차 없다. 자 이제 여자에게는 날카로운 전략이 필요하다.
- 전략 - <'몇 명'까지는 일단 튕겨보고 그 다음부터 만나는 남자 중 제일 멋진 남자와 결혼하자.>
여자에게 '몇 명'까지 튕겨보는 게 가장 합리적인 전략이 될까?
조건부 확률을 생각해 볼 수 있다. (풀이 과정) B : 여자가 백마탄 왕자를 정확하게 선택할 확률. A1 : 백마탄 왕자가 첫번째로 프로포즈해올 확률. A2 : 백마탄 왕자가 두번째로 프로포즈해올 확률. . . . A100 : 백마탄 왕자가 백번째로 프로포즈해올 확률.
그러면 여자가 백마탄 왕자를 정확하게 선택할 확률은 다음과 같이 표현된다. P(B) = P(A1)*P(B/A1) + P(A2)*P(B/A2) + ... +P(A100)*P(B/A100) (식1)*
이제 주인공 여자가 r명까지는 일단 튕겨보고 그 다음부터 만나는 남자 중 제일 멋진 남자와 결혼하기로 했다고 하자. 그러면 P(B/A1)=0, P(B/A2)=0, ..... , P(B/Ar)=0 이다.
(당연히 최초 r명 안에 백마탄 왕자가 있었다면, r명까지는 튕기기로 한 여자의 작전은 완전 실패다.)
P(B/A(r+1))=1=r/r (당연히 r+1번째로 백마탄 왕자가 프로포즈 해 왔다면 r명까지 튕긴 여자는 이전에 본 r명보다 더 멋진 남자를 바로 만나버린 거니까 백마탄 왕자 픽업할 확률은 100%다.)
P(B/A(r+2))=r/(r+1) P(B/A(r+3))=r/(r+2) ...
P(B/A(99))=r/99 P(B/A(100))=r/100
r+2번째에 백마탄 왕자가 있는데 r+1번째 프로포즈 한 남자가 이전에 튕긴 r명보다 나은 남자였다면, 여자는 최초세운 전략상 그냥 r+1번째 남자의 프로포즈를 받아들이게 되고 그러면 r+2번째 남자는 보지도 못하니까, 여자의 입장에서는 또 전략상 실패다. 따라서 r+2번째 남자(백마탄 왕자)의 프로포즈를 받기 위해서는 r+1번째 남자가 기존의 r명보다 나은 남자여서는 안될 것이다. 다시 말해 백마탄 왕자보다 앞서서 프로포즈 하는 남자중 가장 괜찮은 남자가 r번째이전(r번째 포함)에 여자에게 프로포즈를 하면 된다.
r+1번째에만 있지 않으면 된다. 1,2,3,...,r,r+1번째 중 r+1번째만 아니면 되니까 확률은 r/(r+1)이다. 같은 방식으로 백마탄 왕자가 r+3번째로 프로포즈를 한다면 r+1번째 r+2번째에 여자가 프로포즈를 받아들여버리면 안된다. 그러려면 백마탄 왕자 이전의 남자들 중 가장 멋진 남자가 r번재 이전(r번째 포함)에 있으면 된다. 그러면 r+1번째, r+2번째 남자가 r번째까지의 남자보다 멋질 수 없으므로 여성는 r+3번째 남자가 어떤 남자인지 살필 기회를 갖게 된다.
확률은 r/(r+2)
이런 식으로 동일한 풀이 과정을 거치면 백마탄 왕자가 백번째로 프로포즈 해올때 여자가 백번까지 기다려서 그 왕자를 선택할 확률은 r/100 이 결과를 (식1)*에 대입하면
100 1 r sigma --- * --- x=r 100 x
이것이다! 드디어 r에 관한 함수가 나왔다.
항수가 많으니까 그냥 연속적으로 생각해서 적분을 하자.
1 r integral r->100 --- * --- dx 100 x
r 100 = --- [lnx] 100 r
어차피 위의 값을 최대로 만드는 r값을 찾는 것이고, 상수항과 계수는 신경 안써도 되니까
d --[ r{ln100} - r {ln r } ]= 0 을 만드는 r을 찾자. dr
(답) r = 37
답이 나왔다. 37명이다.
보통 한 여자에게 프로포즈하는 남자의 숫자가 10명이라고 하면 여자는 최초 3명까지는 여유있게 거절해도 되지만, 4번 째에는 거절하지 말아야 한다는 계산이 나온다. 그때는 그냥 괜찮다 싶으면 잡아야 한다는 것이다.
하지만 현실적으로 생각해보면 사실 10명도 많다. 절세미인인 데다 모든 남자들의 사랑을 독차지 하는 여자가 아닌바에야, 보통 여자에게 프로포즈 하는 남자가 통틀어서 5명쯤 된다면 최초 프로포즈 하는 한명쯤은 이래저래 튕겨봐도 괜찮지만 두번째 남자가 프로포즈해올 경우, 첫번째 남자보다 낫기만(!) 하다면 여자는 프로포즈를 받아들여야 하는 입장인 것이다. (여담이지만 이래서 첫사랑은 늘 실패? 응?)
그러니 우리 솔로 남자분들이여, 만약 사귀자고 했는데도 당신의 그녀가 눈썹 하나 깜짝 안한다면 그 여자 눈앞에다 연습장 하나 펼쳐놓고 인테그랄 한번 쌔려주자.
응용 할 수도 있을 듯 싶다. 인테그랄 멋있게 한 번 쎄려주고 난 후, 친구 하나를 포섭해 백수 패션 입혀놓고는 그 여자에게 대쉬시키고, 물론 그 여자는 거절. 그리고 당당하게 그녀에게 다가가 다시 고백해보자.
"태희야, 날 골라야 남는 장사라니까, 수학적으로 증명이 됐잖아!"
반박은 환영, 결과는 책임 못 짐. 끝으로 본인이 입에 달고 사는 구어체 한 문장을 남기며 마무리 하자.
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