- 1+1=2 -

"일 더하기 일 은" 무엇일까요?

고전적인걸 좋아하시는 분들은 창문이라 할수도 있고 창의력돋는 분들은 ASKY라 하실수도 있지만 대부분은 2라고 하실겁니다.

그렇다면 1+1은 왜 2일까요?

이에 대한 증명은 영국의 위대한 철학자 화이트헤드와 그의 뛰어난 제자 러셀(러셀의 역리의 그 러셀 맞습니다)이 공동저작한 대작 <수학원리(Principia Mathematica)> 에서 다루고 있습니다.

이들은 1900년 7월 파리에서 열린 제 1회 국제철학회의에서 수학자인 페아노(G.Peano)가 산술의 기초를 명확히 하기위해 기호논리(현재 사용하는 집합기호 ⊂,∈는 페아노가 사용한 기호에서 유래합니다)를 사용하는 엄밀성에 깊은인상을 받고 이를 확장시켰습니다.

자연수집합 N을 규정하는 페아노 공리는 다음과 같습니다.


[Peano axioms]

PA0-1. 임의의 자연수 x에 대하여 x=x.(reflexive)
PA0-2. 임의의 자연수 x,y에 대하여 x=y 이면 y=x. (symmetric)
PA0-3. 임의의 자연수 x,y,z에 대하여 x=y이고 y=z이면 x=z. (transitive)
PA0-4. 임의의 a, b에 대해, a가 자연수이고 a=b라면 b또한 자연수이다. (closure under equality)

PA1. 0은 자연수이다.
PA2. 임의의 자연수 n에 대해 S(n)은 자연수이다.
PA3. 임의의 자연수 n에 대해 S(n)≠0.
PA4. 임의의 자연수 m과 n에 대해, S(m)=S(n)이면 m=n.(S is an injective func. (funct!on이 필터링에 걸리는거 처음 알았네요;;) )
PA5. (귀납법의 공리)
어떤집합 A가 0을 포함하고, 임의의 자연수 n과 그에 대응하는 S(n)을 포함하면 A는 모든 자연수를 포함한다.

페아노 공리계에서 PA0-1~4는 동일관계를 규정합니다.

PA1. 에서 0을 자연수로 놓은 이유는 0이 덧셈에 대한 항등원이기 때문에 편의성을 위하여 현대의 페아노 공리를 서술할때 대체로 첫자연수를 0으로 선택합니다. 1로 시작하여도 별상관없으며 페아노도 첫 자연수를 1로 두었습니다.

함수 S:N->N 는 따름수함수 로서 자연수를 1진법으로 규정합니다. 즉, 1=S(0), 2=S(S(0))=S(1), ... , n=S^n(0)=S(n-1) 로 표현됩니다.

집합으로 표현하면 S(n)=n ∪ {n} 으로 다음과 같습니다. 
0={} (the empty set)
1={ {} }={0}
2={ {} , {{}} }={0,1}
3={ {} , {{}} , {{},{{}}} }={0,1,2}
...

PA3, PA4는 자연수가 무한히 많음을 보장해주며, PA5는 자연수전체에 대한 순차적 논증을 할 수있게 해줍니다.


이제 자연수집합을 만들었으니 자연수의 덧셈에 대해 알아보겠습니다.

이항연산 +는 다음조건을 만족하는 함수입니다.
+: N×N -> N
1) a+0=a for all a∈N
2) a+(S(b))=S(a+b) for all a,b∈N

이제 1+1=2를 증명해보겠습니다.



Theorem. 1+1=2

proof.
1+1=1+S(0)=S(1+0)=S(1)=2. /Q.E.D.



화이트헤드와 러셀이 보이고자 한 것은 공리계가 주어지면 그로부터 알고있는 수학지식이 논리적으로 유도 가능하다는 일반적인 원리 입니다. 러셀은 나아가 1920년대 형식주의, 직관주의와 함께 수학기초론의 대표적 견해중 하나인 논리주의를 주장합니다.

하지만 러셀을 비롯한 논리학자들이 "수학적 명제의 참과 거짓을 판별할 수 있는 절대적인 지침이 있다" 즉, "참인 모든 명제는 증명가능하다"라는 믿음과 달리 괴델이 참이지만 증명 불가능한 식을 제시하여 그렇지 않음을 보였습니다.

괴델은 산술을 형식화한 형식체계에서 그 체계가 무모순적인 한, 참이지만 증명할 수 없는 문장(논리식)이 존재한다고 하였는데, 이것이 괴델의 제1불완전성정리입니다. 그리고 제1불완전성정리를 만족시키는 어떠한 형식체계도 그 체계가 무모순적인 한, 그 체계 안에서 주어진 공리와 규칙들만으로는 그 일관성을 증명할 수 없다는 것이 제2불완전성정리입니다.

이는 수학기초론을 무너뜨린것이 아니라 공리를 확장시키며 수학을 발전 시켜야 함을 시사합니다.


[reference]
-위키피디아
-네이버 지식백과
-www.mjlee.pe.kr/xe/board/223

[한줄요약: 1+1=2입니다. 안심하셔도 돼요!]