평일에는 글쓰기가 쉽지 않네요ㅎㅎㅎ

-벡터-

물리시간에 배우는 개념중 흥미로운 것이 벡터(vector)입니다. 크기만을 갖는 스칼라(scalar)와는 달리 벡터는 크기와 방향을 가집니다.  스칼라량의 대표적 예로는 온도, 속력, 이동거리 등이 있고 벡터량의 예로는 변위, 속도, 가속도 등이 있습니다.

벡터는 흔히 화살표로 표시되는데 벡터의 덧셈은 두 벡터의 시점(initial point)을 일치시켜 평행사변형을 만들었을때 대각선이 합성된 벡터가 됩니다. 다르게 표현하면 한벡터의 v의 종점(terminal point)에 다른벡터 w의 시점을 일치시켰을때 v의 시점과 w의 종점을 이은 화살표가 v+w가 됩니다. 실수배를 했을때는 벡터의 방향은 같지만 크기만 변화합니다. 많은 물리개념이 이 화살표로 설명이 됩니다.

그렇다면 물리학의 언어인 수학에서는 벡터를 어떻게 설명할까요?

수학에서는 벡터를 화살표에 국한하지 않고 공리계를 지정하여 일반화를 하게 됩니다.

벡터란 다음 공리를 만족하는 집합V의 원소입니다.

(u,v,w는 집합V의 원소. a,b는 체(field) F의 원소.)

1. V의 원소 v,w에 대하여 v+w는 V의 원소이다.  (V는 덧셈에 닫혀있다)

2. u+(v+w) = (u+v)+w.  (덧셈에 대한 결합법칙)

3. V에 zero vector 0이 존재하여 V의 모든 벡터 v에 대하여  0+v = v+0 = v.   (덧셈의 항등원이 존재)

4. V의 임의의 원소 u에 대하여 v+(-v)=(-v)+v=0 를 마족시키는 (-v)가 V안에 존재한다. (덧셈의 역원이 존재)  //  군(group)

5. v+w = w+v.  (덧셈에 대한 교환법칙)  //  가환군(Abelian group)

6. 스칼라 a가 F의 임의의 원소이고 v가 V의 원소일때 av는 V의 원소이다.  (V는 스칼라 곱에 닫혀있다)

7. a(v+w) = av+aw.  (벡터 덧셈에 대한 분배법칙)

8. (a+b)v = av+bv.  (스칼라 덧셈에 대한 분배법칙)

9. a(bv) = (ab)v.  (스칼라 곱에 대한 결합법칙)

10. 1v = v.  (스칼라 곱의 항등원이 존재)

위의 조건을 모두 만족하는 집합 V를 체 F위의 벡터공간(vector space over a field F)라고 합니다.

[@ 조건1~4까지를 만족하는 대수적 구조를 군(group)이라 하는데 현대대수학(추상대수학)의 기틀을 이루는 매우 중요한 개념입니다. 갈루아가 창시한 군은 5차 이상의 방정식은 대수적으로 풀수없다는 것을 증명하기 위해 만들어졌는데 자세한 내용은 추후에 다루겠습니다. 군중에서도 교환법칙이 성립하는 군을 가환군 혹은 갈루아와는 별도로 5차방정식의 대수적 해법(근의 공식)이 존재하지 않음을 증명한 아벨의 이름을 따서 아벨리안 군(Abelian group)이라고 부릅니다.]

화살표도 위의 공리들을 만족합니다(확인해 보세요^^). 물리에서 쓰이는 화살표(유클리드 공간)뿐만 아니라 행렬, 함수들또한 벡터가 됩니다(각각 행렬공간, 함수공간이라 부르며 벡터공간의 조건을 만족합니다). 이렇게 일반화된 벡터들은 기하학적 직관이 달리 적용될 수 없는 경우, 혹은 행렬과 함수에 관한 문제를 풀고자 할때 대응되는 개념을 구상함으로써 문제해결에 도움이 될 수 있습니다.

[reference]

선형대수와 군 - 이인석

Elementary Linear Algebra - Howard Anton

[한줄요약: 수학은 일반화의 학문입니다~]