log_x (9) = 2 일때 x의 값은?

위 게시물의 1번 문제가 log_x (9) = 2 일때 x의 값은 무엇인가? 라는 문제입니다.

3^2 = 9 이니 x = 3 인건 분명한데, x = -3 일때도 성립할까요?

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여기서는 log(-3, 9) 을 계산해 봅니다.

(주1: log_a (b) 또는 log(a,b) 는 a 를 밑으로 하는 로그입니다.)

(주2: 별다른 표기가 없으면 log 는 자연로그(ln)입니다. )

log의 기본적인 계산 규칙 2가지는 다음과 같습니다.

1) log_a(b) = log(b) / log(a)

2) log(n*m) = log(n) + log(m)

그러므로 log(-3, 9) = log (9) / log(-3) 입니다.

그리고, log(-3) = log(3) + log(-1) 입니다.

이제 계산해야 할 것은 log(-1) 입니다.

그런데 여기에는 그 유명한 오일러의 공식이 사용됩니다.

log(-1) = x 라면, 다시 말해 e^x = -1 이지요.

오일러의 공식에 의해서 x = iπ 가 됩니다. (물론 엄밀히 말하면 2π 를 주기로 하는 모든 수입니다.)

누구나 한번쯤 보았을 법한 e^(iπ) +1 =0 이란 바로 그 식이죠.

어째튼 그래서, log(-1) = iπ 입니다.

다시 정리하면, log(-3, 9) = log(9) / (log(3) + iπ) 라는 수가 됩니다.

참고로, 이러한 규칙은 음수 뿐만 아니라, 모든 복소수에 확대 적용이 가능합니다.

- 엔델 -