0차원 - 점
1차원 - 선분
2차원 - 정사각형
3차원 - 정육면체(큐브)
4차원 - 초입방체(하이퍼큐브)
윗그림의 좌측 그림이 초입방체의 모습이랍니다.
각각 다른색으로 그려진 8개의 정육면체가 들어있습니다.
한 면에는 2개의 정육면체가 접해있고
한 모서리에는 3개의 정육면체가 접해있고
한 꼭지점에는 4개의 정육면체가 접해있습니다.
따라서 한개의 하이퍼큐브는
총 8개의 정육면체와, 24개의 면, 32개의 모서리, 16개의 꼭지점을 갖습니다.
윗그림의 우측 그림은
4차원의 초입방체를 3차원상으로 전개한 모습입니다.(곡선으로 이러진 면끼리 만난다는 뜻)
3차원의 정육면체를 펼쳐서 2차원상에 전개도를 그릴수 있듯이..
4차원의 초입방체를 펼쳐서 3차원상에 전개한 모습이라네요..
기타설명 수학적으로 정의되는 n차원이란 위상공간에서 n개의 축이 서로 직교하는 상황을 두고 하는 말입니다. 2차원, 3차원 까지는 우리 머릿속에 쉽게 그릴 수 있죠? 우리는 두 개, 혹은 세 개의 축이 서로에 대하여 독립적으로, 즉 수직하여 교차하는 경우를 카티션 좌표계에서 2차원과 3차원 공간으로 정의합니다. 하지만 상상하는 데 난해한 4차원 공간 부터는 수학적인 정의를 빌려 추측하죠. 유클리드 공간에서는 네 개 이상의 축이 어떻게 교차하는지를 알아내는 것이 불가능합니다. 따라서 네 개의 차원이 "수직한다" 라고 말할 수도 없는 것이구요.다만 n 차원에서 n 개의 성분을 가진 두 벡터 혹은 행렬들의 내적이 영일 때 그 둘이 "직교한다" 라고 말할 수 있을 뿐이죠. 똑같은 말처럼 들리지만 완전히 다른 개념입니다 행렬과 벡터는 매우 유사한 표기법입니다. 따라서 내적을 취함으로써 바로 직교성을 확인할 수 있죠.직교성은 특정한 물리량에 벡터의 내적과 같은 곱셈연산을 취하면 서로 다른 값에 대하여 영이 되는 성질에서 그 뜻을 찾을 수 있습니다. 즉, 미분방정식의 해가 되는 함수들에 각각 다른 곱셈연산을 하고 무한한 범위에 걸친 적분을 하였을 때 그 값이 0이되는 상태가 바로 직교상태이죠. 추상적으로 말해서 서로 직교하는 좌표계의 숫자로써 나타내어 지는 것이 차원인 것이구요. 이러한 다차원 공간을 표현하기 위해 수학자들은 비유클리드기하학을 사용합니다. 유클리드 기하학의 가장 기본적인 공리들을 바꿈으로써 휘어진 공간을 논하는 것이죠. 비유클리드기하학은 쌍곡기하와 타원기하로 나누어지며 이들을 통틀어 리만기하학이라고 부르기도 합니다. 이런 휘어진 시공간에서는 세 개보다 많은 좌표축의 직교를 직접적으로 논할 수 있게 되는 것이구요. 이러한 방법으로 얻어지는 n차원 공간을 우리는 가우스 공간이라 칭하고, n이 무한대로 갈 때 얻어지는 기저의 집합을 힐베르트 공간, 혹은 힐버트 공간이라 부릅니다. 상대성이론에서 말하는 시간과 공간 차원의 직교는 시간축을 공간축에 대응하는 허수로써 대체 함으로써 그 개념을 잡을 수 있게 됩니다. 민코프스키의 4차원 시공간론에 따르면 시간이 3차원 유클리드 공간과 정확히 같은 역할을 수행하는 허수축이 되죠. 따라서 특수상대성이론의 조건 하에서 평면적인 시공간에 대하여 말할 수 있게 되는겁니다. 로렌츠 변환 또한 "모든 물체는 시공간 상에서 빛의 속도로 움직인다" 라는 전제 하에 실수공간과 허수시간에 상대적인 운동의 대칭을 논한 법칙이구요. 특수상대성이론을 깊게 공부해 보시면 좀 더 자세히 아실 수 있을듯^^ 일반상대성이론은 가속운동을 다루면서 휘어진 시공간을 논하죠. 3차원의 실수 공간과 1차원의 허수 시간을 리만기하학을 사용하여 구사하는데요, 이걸 이해하기 위해서는 군이론과 듀얼텐서라는 수학적 배경이 필요합니다. 수리물리학 책에 약간 서술되어 있는데요, 추상대수와 텐서해석학을 조금 하시는 것이 이해하시는 데에는 편리할 듯 싶습니다. 초끈이나 초공간론에서 다루는 차원의 개념도 비슷한 가정을 기초로 한 것입니다. 다만 거시적 4차원 공간 사이사이에 꼬깃꼬깃 꾸겨져서 끼어있는 미시적 6차원을 더한 것이죠. 멤브레인 이론에서는 이어주는 1차원 까지 포함하여 11차원을 논하는 것이구요. 양자보다 작은 단위에서는 이 미세한 차원들이 의미를 가지게 되며 각각 고유의 진동수로 진동하는 끈들이 시야를 넓혀보면 입자로써의 역할을 수행하게 됩니다. 여기서도 이 많은 차원들이 서로 수직이라고 말할 수는 없습니다. 고차원으로 가면 갈수록 차원의 정의는 점차 추상적이 되죠. 이 단계에 와서는 차원들이 서로 독립적이라 말을 할 수도 없게 되어버립니다. 상대성이론에서도 물론 마찬가지죠. 출처 : daum 물리학 카페 EPM 게시물주소 http://cafe318.daum.net/_c21_/cafe_nsread?grpid=6ddx&mgrpid=&fldid=NYx&contentval=0003t00040zzzzzzzzzzzzzzzzzzzz&datanum=248&page=1&query=hawkins&item=writer&jobcode=1&dataidlist=129,668,3483,248,406,&fldidlist=Au8,JOFZ,87T6,NYx,JOFZ,&cpage=1&totcnt=5&sorttype= 2차원을 이동시켜 3차원이 나오고, 3차원을 이동시켜 4차원이 나오듯이, 4차원은 5차원으로, 5차원은 6차원으로...이런식으로 한도끝도 없이 만들수가 있다는군요. http://www.geocities.com/liviozuc/hypercube.html <-- 수학적으로 설명 http://www.traipse.com/hypercube/ <-- 3차원그래픽으로 표현 원본출처 : http://www.parkoz.com/zboard/view.php?id=images2&page=1&sn1=&divpage=10&category=1&sn=off&ss=on&sc=off&select_arrange=headnum&desc=asc&no=61871
