바쁘신 분은 아랫 쪽 큰 글씨만 읽으세요.
문제.
당신 앞에는 돈이 들어있는 두 개의 봉투가 있습니다. 한 봉투에는 다른 봉투의 두 배에 해당하는 돈이 들어있습니다. 당신은 봉투를 하나 고릅니다. 이 때 봉투를 바꿀 기회를 준다면 바꾸는 게 이득입니까?
틀린 풀이법.
틀1. 내가 선택한 봉투에 들어있는 값을 A라 하자.
틀2. A가 작은 쪽일 가능성은 1/2이고 A가 큰 쪽일 가능성 또한 1/2이다.
틀3. 다른 봉투에 들어있는 돈은 2A이거나 A/2이다.
틀4. A가 작은 쪽이라면, 다른 봉투에는 2A가 들어있습니다.
틀5. A가 큰 쪽이라면, 다른 봉투에는 A/2가 들어있습니다.
틀6. 따라서 다른 봉투에 2A가 들어있을 가능성이 1/2이고 A/2가 들어있을 가능성이 1/2이다.
틀7. 따라서 바꿀 경우 기대값은 (1/2)*(2A) + (1/2)*(A/2) = (5/4)A이다.
틀8. 이 값이 A보다 크므로 바꾸는 것이 이득이다.
틀9. 바꾼 이후 바꾼 봉투에 있는 값을 B라 하고 2~8을 동일하게 다시 할 수 있다.
틀10. 따라서 바꾼 이후에도 다시 바꾸는 것이 이득이다.
틀11. 따라서 이 과정을 영원히 반복하게 된다.
옳은 풀이법
옳1. 봉투A와 B 중 작은 쪽에 들어있는 값을 X라 하자.
옳2. 따라서 큰 쪽 봉투에 들어있는 값은 2X이다.
옳3. 선택한 봉투가 큰 쪽일 가능성은 1/2이고 작은 쪽일 가능성은 1/2이다.
옳4. 봉투 A의 기댓값은 (1/2)*2X + (1/2)X = (3/2)X이다.
옳5. 봉투 B의 기댓값은 (1/2)*2X + (1/2)X = (3/2)X이다.
옳6. 따라서 바꿀 경우와 안 바꿀 경우의 기댓값이 같다.
두 풀이법을 다른 방향으로 간략히 묘사할 경우
틀린 풀이법: 선택한 봉투의 값을 A라 하자. 바꿀 경우, A를 얻거나 A/2를 잃는다. 따라서 바꾸는 게 이득.
옳은 풀이법: 두 봉투에 있는 값을 각각 X와 2X라 하자. 바꿀 경우, X를 얻거나 X를 잃는다. 따라서 바꾸나 안 바꾸나 똑같다.
Q1. 왜 전자는 틀렸고 후자가 맞는가?
당신은 최초의 선택 때 X와 2X 사이에서 하나를 선택한 것이다. 당신의 선택에 따라 선택하지 않은 봉투에 든 돈이 (1/2)A에서 2A로 변한다던가 2A에서 (1/2)A로 변하는 것이 아니다. 당신이 X를 선택했다면 선택하지 않은 봉투에는 2X가 들어있는 것이고 당신이 2X를 선택했다면 선택하지 않은 봉투에는 X가 들어있는 것이다. 당신의 선택은 큰 쪽과 작은 쪽 중 하나를 선택하는 것일뿐 당신의 선택이 미리 들어있던 돈의 값을 바꾸는 것이 아니다.
※ 주의. 그냥 제 생각입니다.
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