이글 쓰는건 창조떡밥 지겨워서...
무튼, 확장하는거 좋아하는 수학자들이 이걸 어떤식으로 접근했을지 생각해봐요.
x^y꼴에 대한 극한부터 따져서, 연속하게 만들면 되겠다, 이렇게 봤겠죠.
근데 참 난감한게, z=x^y꼴의 함수의 그래프는 이렇게 나와요
(그래프는 울프람에서 복사했는데 함부로 써도 되는건지;;)
x가 0이 되고 y가 0이되는 지점 부근을 따라가보면 z의 값이 0부터 3까지 쭉 있는걸 볼 수 있어요.
사실은 3이상으로도 쭉 다 갑니다.
이래서야 0^0에 대한 확장이 불가능해요.
그럼 지수가 반드시 0이상이 되도록 잡아주면 어떤 그래프가 나올지 봅시다
z=x^(y^2)의 그래프는 다음과 같아요.
다행히 x와 y가 모두 0으로 갈때,
1부근에서 최고점을 찍는듯 하네요.
그러면 0^0=1이라고 얘기해도 될까요? 글쎄요..
그러면 0^0=1이라고 얘기해도 될까요? 글쎄요..
이것도 x가 그만큼 안따라와주면 헛수고에요.
y가 아무리 0쪽으로 가까이 온다고 해도 x가 훨씬 더 천천히 0으로 온다면 값이 1이 된다고 말할 수 없어요.
y가 아무리 0쪽으로 가까이 온다고 해도 x가 훨씬 더 천천히 0으로 온다면 값이 1이 된다고 말할 수 없어요.
대신, x가 y보다 충분히 빠르게 0에 가까이온다라는 보장만 있으면
저 값은 1로 수렴한다고 말할 수 있습니다.
마지막으로 y= x^x , 밑과 지수가 같은 속도로 0에 오는 그래프는 다음과 같아요.
저 값은 1로 수렴한다고 말할 수 있습니다.
마지막으로 y= x^x , 밑과 지수가 같은 속도로 0에 오는 그래프는 다음과 같아요.
파란선을 보시면 x가 0이 될때 y값이 1에 가까이 가는걸 볼 수 있습니다.
흔히들 0^0이 무엇이냐고 물으면 대신 x^x의 극한값에대해 설명해주곤 하는데, 그래프가 요렇게 생겼어요.
무튼 0^0을 확장하는건 여러가지 전제조건이 필요하고 귀찮은 일이라
'정의되지 않는다'라고 말하고 치우는게 속편합니다.
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