-콜라츠 추측-

이제껏 많은 수학자들을 괴롭혔던 수학 난제들은 도저히 못풀것만 같은 복잡한 문제들도 많지만, 너무나 단순해서 금방 풀릴것 같은 문제들도 있습니다. 1994년 프린스턴 대학교 앤드류 와일즈 교수가 증명한 "페르마의 마지막정리" 가 그러한 예중에 하나 입니다. 오늘 소개할 콜라츠 추측 또한 매우 간단한 형태이며 현재까지 풀리지 않고 있는 문제 입니다.

콜라츠 추측은 1937년 독일의 젊은 수학자 로타르 콜라츠가 제시한 문제로 다음과 같습니다.

1) 임의의 자연수를 하나 고른다.

2) 홀수라면 3을 곱한뒤 1을 더하고, 짝수라면 2로 나눈다.

3) 2)를 반복한다.

그랬을때 결과값이 항상 1이 나오는가? 가 콜라츠가 제시한 질문입니다.

예를들어보면

3->10->5->16->8->4->2->1

7->22->11->34->17->52->26->13->40->20->10->5->16->8->4->2->1.

과정을 보면 크게 증가하다 특정구간(2^n의 배수)에서 붕괴하는 것을 반복하며 숫자가 떨어지는데 우박이 생성되는과정과 비슷하다 하여 우박수라고도 불립니다.

우박수중에는 한없이 증가할것만 같은 수들도 있는데 27이 그러합니다.

27은 77단계에서 9232까지 올라가다가 급격하게 붕괴되어 111번째 단계에서 1이 됩니다.

아래 그림은 우박수들이 1로 붕괴되는 과정을 나타냅니다.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/af/Collatz-graph-20-iterations.svg

콜라츠 추측은 제가 증명하고자 조금 건드려봤던 문제이기도 합니다만 어려워서 포기했습니다ㅎㅎ

다음은 제가 증명한 내용인데(솔직히 별거 없습니다^^;) 논문찾아보니 이미 나와있는 내용이라 성질 몇개만 소개합니다. 증명은 따로 하지 않겠습니다.

1) 자연수 n 의 콜라츠 과정에 나온 숫자들의 집합을 C(n)이라 하자. m이 C(n)의 원소일때 m* 2^k 은 콜라츠 과정을 거쳐 1로 붕괴한다.

2) n이 콜라츠 과정을 거쳐 1로 붕괴되다면 콜라츠 과정중 같은 숫자가 반복되지 않는다.

전 위의 두 사실을 이용하여 콜라츠과정의 역과정으로 1로부터 모든 자연수를 만들어낼 수 있다는 논리로 증명해보려했는데 안됬습니다ㅋㅋㅋ

여튼 콜라츠 추측은 컴퓨터로 현재까지 19*2^58정도까지는 참임을 밝혔지만 그이후에 반례가 나올지는 모르는 일입니다.

그래서 나온게 발견술적 접근인데 홀수일때 증감정도와 짝수일때 증감정도를 확률적으로 따졌을때 평균적으로 3/4로 줄어들어 결국 1이 된다는 것 입니다.

하지만 콜라츠 과정에서 나오는 수들이 고른 분포를 보여줄수 있는지에 대한 의문이 남으므로 완전히 설명해 주지는 못합니다.

콜라츠 추측은 아직 밝혀지지않은 수학적 구조로 이루어 졌을지도 모릅니다. 관심있으신 분들은 도전해 보세요ㅎㅎ

[reference]

네이버캐스트 - 우박수

[한줄요약: 아직 증명안된 문제입니다. 도전해보세요!]