[수학이야기] 리만가설(Riemann Hypothesis)-1

-리만가설 part.1-

(글쓰기에 앞서 과연 제가 잘 설명 할 수있을지 확신이 안서네요ㅋㅋ 그래도 최선을 다해 보겠습니다!)

'리만 가설'은 1859년 천재적인 독일 수학자 리만(Geoorg Friedrich Bernhard Riemann,1826-1866)이 제시한 것으로, "2, 3, 5, 7 같은 소수들이 어떤 패턴을 지니고 있을까?"라는 질문으로 다음과 같습니다.

Hypothesis.

리만제타함수 $\zeta(s)$ 의 자명하지 않은 근 s의 실수부는 1/2이다.

이 괴물같은 가설은 1859년 리만의 논문 <주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여> 에서 언급했으나 그 논문의 중심적 목적은 소수의 개수에 관한 것이었기 때문에 가설의 증명을 시도하지는 않았습니다.

그러므로 리만가설 이야기는 소수의 개수부터 시작하겠습니다.

소수는 무한합니다. 유클리드가 매우 우아한 방법으로 증명했습니다. 혹여나 의심되는 분들을 위하여 소개하자면

Theorem. 소수집합은 무한집합이다.

proof.

P={p | p 는 소수} 이고 n(P)=n이라 하자.

q=p1*p2*...*pn + 1

이라면 모든 pi ∈ P에 대해서

q≡1 (mod pi)

이므로

gcd(q,pi)=1

즉, q는 합성수가 아니다. 하지만 q는 P의 원소가 아니므로 모순.

따라서 소수집합은 무한집합이다.

<Q.E.D>

소수는 무한하지만 에라토스테네스의 체를 이용하여 구해보면 나타나는 빈도는 숫자가 커질수록 적게 나타납니다. 연속해서 나타나는 경우도 있지만(이를 쌍둥이 소수라고 부르며 쌍둥이 소수가 무한한가를 묻는것이 쌍둥이소수 추측입니다.) 대체로 소수간의 간격이 멀어지는 걸로 보였습니다. 그래서 만든것이 소수계량함수입니다.

어떠한 소수계량함수(Prime-counting funct!on)는 주어진 양의 실수 $x$ 에 대해 그 값보다 작거나 같은 소수의 개수를 세는 함수입니다. 보통 $\pi(x)$ 로 표기하는데 원주율을 의미하는 그리스 문자 $\pi$ 와 아무런 관련이 없습니다.

예를들어볼까요?

10보다 작은 소수의 개수는 2,3,5,7로 4개가 있으므로 pi(10)=4.

100보다 작은 소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97로 25개가 있으므로 pi(100)=25 입니다.

정수론에서 소수 개수의 증가속도는 매우 지대한 관심사였습니다. 60까지의 소수계량함수의 값을 나타내면 다음과 같습니다.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/10/PrimePi.PNG

소수계량함수는 어떠한 다른 함수에 그사하는것처럼 보였고 18세기 말 가우스와 르장드르는 소수계량함수가 $x/\ln (x)$ 에 근접함을 추측했습니다. 즉,

$\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x/\ln (x)} = 1$

라고 생각했고, 이를 x=10^n인 표로 나타내면 다음과 같습니다.(li는 로그적분함수 입니다.)

x	pi(x)	pi(x) − x / ln x	li(x) − pi(x)	x / pi(x)
10	4	−0.3	2.2	2.500
10²	25	3.3	5.1	4.000
10³	168	23	10	5.952
10⁴	1,229	143	17	8.137
10⁵	9,592	906	38	10.425
10⁶	78,498	6,116	130	12.740
10⁷	664,579	44,158	339	15.047
10⁸	5,761,455	332,774	754	17.357
10⁹	50,847,534	2,592,592	1,701	19.667
10¹⁰	455,052,511	20,758,029	3,104	21.975
10¹¹	4,118,054,813	169,923,159	11,588	24.283
10¹²	37,607,912,018	1,416,705,193	38,263	26.590
10¹³	346,065,536,839	11,992,858,452	108,971	28.896
10¹⁴	3,204,941,750,802	102,838,308,636	314,890	31.202
10¹⁵	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1,052,619	33.507
10¹⁶	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	3,214,632	35.812
10¹⁷	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,281	7,956,589	38.116
10¹⁸	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	21,949,555	40.420
10¹⁹	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,960	99,877,775	42.725
10²⁰	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,701	222,744,644	45.028
10²¹	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	597,394,254	47.332
10²²	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1,932,355,208	49.636
10²³	1,925,320,391,606,803,968,923	37,083,513,766,578,631,309	7,250,186,216	51.939