미분관련 질문입니다.(쓰다보니 길어졌어요)

미분가능한 함수의 열린구간 (a,b)에서

임의의 점의 x좌표 x1, x2를 x1 < x2 로 설정합니다.

평균값 정리에 의해서

x1<c<x2 의 범위에서

x2-x1/f(x2)-f(x1) = f'(c) 인 c가 존재합니다.

이를 바탕으로

f'(p)>0 -> x=p에서 증가한다.

라는 명제를 증명하는 과정입니다.

분자인 x2-x1 >0 이므로 f'(c)>0 이면 분모인 f(x2)-f(x1)>0 이 됩니다.

임의의 c에 대해서 f(x2)>f(x1)인 구간을 만들어 줄 수 있기때문에

f'(c) >0 -> x=c에서 증가한다. 라는 명제가 참이라는 해석이었는데..

일차함수가 아니면 c는 임의의 x1과 x2에 따라 고정적인 값을 갖는데 이를 임의의 c, 미분계수가 양수인 모든 x좌표로 확장할 수가 있는지.

f'(c)>0 이라는 가정 자체로 이를 만족하는 c에 대해서 f(x2)-f(x1)>0인 임의의 x1, x2를 설정할 수 있는 함수의 개형이 되는지,

생각을 이어가다 보니 '열린구간'에 대한 이해와 극한의 개념도 정확하지 않다는 것도 새삼 느끼게되네요

a<어떤임의의값<b 라면 a보다 큰 a와 가장 가까운 값은 정의할 수 없는지,

또 '평균값 정리'가 결국 미분가능한 구간에서 임의의 x값을 설정하면 f'(x)와 같은 평균변화율을 가지는 두 점을 설정할 수 있다라고도

해석할 수 있는지,,

어느 것이 동치이고 가정이고 결론인지....

일방향적인 인강을 듣다보니 의문이 꼬리에 꼬리를 물게됩니다.

혼자 공부하는 수학.. 어려운데 재밌네요!