1. 평균값의 정리는, 'f'(c)와 같은 평균변화율을 갖는 구간을 구할 수 있다' 와 아무 상관없는 정리입니다.

애초에 저게 증명가능할지도 잘 모르겠고.. 어쨌든 평균값의 정리 그 자체로는 안 됩니다.

2. 인강강사가 x=c에서 '증가한다' 의 정의를 어떻게 생각하고 있는진 모르겠는데, x=c에서 증가한다는게 왜 x=c를 포함하는 적당한 구간에서 평균적으로 증가함을 보이는 것으로 증명되는지 잘 모르겠네요.

오히려 입실론 델타로 x=c의 임의근방에서 항상 평균변화율이 양수인 구간을 잡을 수 있다고 설명해야 하는게 아닌지.

지금 수2를 공부하시는건지 실해석학을 공부하시는건진 모르겠는데 두 경우 다 저런건 별로 중요하지 않습니다. 그냥 넘기심이 나을거 같네요.

3. 열린 구간 (a,b)의 원소중 과연 a랑 '가장 가까운' 원소가 존재할까요? 답은 아닙니다.

어떤 놈을 뽑아도 그놈보다 더 a랑 가까운 놈이 존재합니다.

사실, 그게 '열린 집합' 의 정의입니다. (조금다르긴 합니다만..)열린 구간은 열린 집합의 간단한 예중 하나고요.

자세한 이야기를 배우고 싶으시면 위상수학 기초를 한번 공부해 보세요. metric topology 근처에서 재미있는게 꽤 많습니다.

먼저 f가 x=c에서 미분 가능하면 어떤 것이 이미 함의되어있는지 생각해보세요. 그러면 생각도 정리 되실 거예요.

어떤 구간 내에 있는 임의의 점 x1, x2에 대해 (x1<x2)
증가한다 ↔ f(x1)<f(x2)
감소한다 ↔ f(x1)>f(x2)
이런 의미입니다.

평균값의 정리로 알 수 있는 건, 특정 구간에서 어떤 두 점 x1, x2(x1<x2)를 잡더라도
f(x1)-f(x2)<0
가 성립한다는 거죠. 그래서 이 구간에서 증가한다는 겁니다.

평균값 정리라는건 주어진 구간에서 특정 점 c가 존재한다는 것이지, c에서 특정 구간을 잡을 수 있다가 아닙니다. 왜 자꾸 그렇게 생각하시는지 모르겠네요..

[결국 f'(c) >0인 c들에 대해서 무조건 성립하므로 결국 미분계수가 양인 점들이라고 까지 확장을 하는.]

무엇이 성립하고, 무엇을 확장하나요?