수학을 할 때는 정의를 하잖아요? 
근데 수들을 수직선위의 '뭔가'로 생각할려면 일단 수가 놓여있는 수직선이 있어야 되므로 이렇게는 정의가 되지 않을 것 같은데, '수'는 어떻게 정의 되나요?

또, '공리'라는 것에서 시작하여 논리적 전개를 통하여 이루는 것이 수학인데, 이 공리에 대한 증명(?)은 필요가 없는 것이죠? 그러니까 가정 과 비슷한 것인가요? '이러이러한 공리를 만족하는 세계에서는 이러이러할 것이다'같은 느낌? 그런데 같은 공리에서 서로 모순되는 두가지가 나올 수 도 있지 않을까요? 이런 것도 다 증명되어 있나요? 그런데 제 생각에는 방금 말한것을 증명하기 위해서도 공리가 필요할 텐데, 그럼 그 공리에 대해서도 모순되는 두가지가 동시에 나올 수 없다 라는게 증명이 안된 상태이므로, '모순되는 두가지가 있을 수 있다라'는 명제가 그 기본 공리에서 나올 가능성을 배제할 수 없을 것 같은데요??
결국 수학은 구조상 완전하거나 무모순적이게 될 수 없는 것인가요?

언제나 말로 하다보면 길어져서 제 스스로도 뭐라고 썼는지 이해가 안돼요...
어쨌든 제 궁금증좀 풀어주세요~