어느 날, 괴델의 불완전성의 정리에 대한 내용을 읽다가
'공리계는 자기 자신의 무모순성을 증명할 수 없다'
라는 대목을 읽고 문득 뜬금없는 생각이 떠올라버렸습니다.
"스스로 보증할 수 없으면, 보증인을 두면 되잖아?"
에... 그러니까 이게 무슨 말이냐면,
'사칙연산을 포함하는 어떠한 공리계의 무모순성은 별도의 공리계의 정리에 포함될 수 있다.' 라는 거니까요.
뭐, 어차피 전체 공리계에 대한 무모순성은 '여전히' 증명할 수 없으니 별 의미는 없지만-
"이왕 보증해 준 거, 계속 해 보면 어떨까?"
하는 생각에 다음과 같은 상상이 시작되었습니다.
우리의 명제논리계를 『T』라고 하고, 『T』에 의해 정의되는 명제논리계를 『V』라 할 때, 『T』는 『V』의 임의의 대상 a를 정의할 수 있다.
또한 『T』는 『V』의 a와 같지 않은 대상 a' 역시 정의할 수 있으며, 동일계『V』에 속해있는 a는 a'로의 관계 α가 존재한다.
위의 관계를 이어나가면, a'에서 α 관계를 가지는 a''와 a''에서 α관계를 가지는 a''' 역시 존재하며, 각각의 a에 순서대로 임의의 기호를 할당할 수 있고, 이 기호는 『T』에서의 첫 기준점 0과 0에서 시작하는 자연수집합을 대응시킬 수 있다.
이어서 a'에서 a로의 관계 -α와 음의 정수도 정의된다.
±α 관계를 가지는 모든 a 집합에서, +∞는 + 방향으로의 스핀값을 가지며 대상 집합은 a의 전체집합이다.
-∞도 - 방향으로의 스핀값을 가지며 대상 집합은 a의 전체집합이다.
+∞와 -∞는 대상 집합이 같고 방향이 반대이다.
특정 a를 기준점 0으로 놓은 상태에서의 무한대값은 전체집합의 값을 1'로 놓았을 때, 각각 +(1/2)', -(1/2)' 이다.
덧셈과 뺄셈은 관계 α 의 최종 개수와 그에 해당하는 숫자로 나타내어진다.
곱셈은 기준점 0에서 nα = α' 관계를 가지는 새로운 α'값을 1로 놓았을 때의 넘버링과 이 넘버링에서 지정하는 숫자 N' 값에 해당하는 최종 N값으로 나타낼 수 있다.
즉, 3x4 는 3α = 1' -> 4' = 12
3x4x5는 3α = 1' -> 4' = 1'' -> 5'' = 20' = 60 과 같이 나타낼 수 있다.
x÷y와 같은 나누기는 서로 다른 α 관계를 가지는 숫자 x와 y를 같다고 놓고, y의 1 값을 x로 서술하는 식으로 정의될 수 있다.
즉, 3÷2 -> 3' = 2'' -> 1.5' = 1''
기준점 0은 관계 α 가 존재하지 않으므로, 나눗셈에서 정의되지 않는다. (단, 무한소의 경우는 제외)
그 외에도 무한대의 n제곱은 각각 차원이 다르기 때문에 낮은 차원의 무한대는 0으로 수렴하는 거라던가,
각각 다른 조건을 가진 무한대의 벡터값 비교라던가, 무한대와 무한소가 같은 값으로 발산한다는 가정에 대한 검증 등등 이것저것 있는데,
수알못의 한계인지, 더 이상은 무리였습니다. (^~^a
명제수학이나 정수론은 언젠가 한 번 꼭 제대로 배워보고 싶네요.
글쓰기