다차원에 대하여 벡터.

벡터a와 b의 내적의 정의는 lal lbl cos(세타) 로 나타내는 것이라 알고 있습니다.

우선 2차원에서 위의 정의가 성립함을 보였을때,

n차원에 대하여도 성립하는가에 대해 궁금증이 생겼습니다.

4차원 이상의 차원에서는 상상조차 할수 없지만, 2보다 큰 n차원에 대해서 모두 성립함을 보이고 싶을때,

어떻게 해야하나요?

제가 생각하는 부분은 이러한데 혹시 틀린부분이나, 보완할 점이 있는지 알려주실수 있나요? ㅠㅠ

case1---

우선 2차원에 대해 내적= lal lbl cos(세타)가 성립함을 보임.

n차원평면(n>2)에 벡터a(OA)와 벡터b(OB)가 있다고 해보겠습니다.

이는 두 벡터를 기저(basis)로 삼는 2차원 평면을 그릴수 있음.

따라서, n차원에서도 내적이 성립한다.

case2---

An 내적 Bn = A(n-1) 내적 B(n-1) + an x bn 임을 수학적 귀납법으로 보임.

n=3 일때, A3 내적 B3 = a1b1 + a2b2 + a3b3 임을 보임

A2 내적 B2 = a1b1 +a2b2 임도 보임

OA,OB 크기는 루트(a1^2 + a2^2 + a3^2), 루트(b1^2 + b2^2 + b3^2) 으로 나타낼수 있으며,

cos(세타)값은 제2 코사인 정리에 의해 AB^2= OA^2 + OB^2 - 2OA OB cos(세타)로 구할수 있음.

성립.

n=k일때 성립하면, n=k+1일때도 성립.

솰라솰라 해서 보임.

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