http://todayhumor.com/?science_19795

 링크는 위에 달아뒀구요.

 미분이란 함수의 변화량에 대한 함수, 즉 도함수를 구하는 것이죠.

 이를 역연산한다는 것, 다시 말해 부정적분한다는 것은 변화량에 대한 함수로부터 원함수를 구하는 것이 되겠구요.

 만일 도함수를 이용해 특정한 점 x＝b에서 원함수 F(x)의 함숫값을 구한다고 하죠. 다시 말해 도함수를 부정적분해서 F(b)를 구하는 셈이 되겠군요.

 그런데 기하학적으로 볼 때 함수의 변화량을 이용하여 함숫값을 구한다는 건, 어느 한 기준점 x＝a에서의 원함수의 함숫값, 즉 F(a)를 구한 뒤, 그 값에다가 x＝a부터 x＝b까지의 원함수의 변화량을 모두 더하는 것과 같은 과정입니다. (이거 이해 못하시는 분 없겠죠? 말이 어려워서 그렇지, 이거 초등학교 저학년 산수 문제랑 똑같아요. 내가 사과를 10개 갖고 있었는데 동규가 사과를 4개 더 주었다면 내가 가진 사과는 총 몇 개인가? 이거랑 완전히 같은 문젭니다.)

 그리고 x＝a부터 x＝b까지의 원함수의 변화량을 모두 더한다는 것은 x＝a부터 x＝b까지 도함수의 함숫값을 모두 더하는 것과 같구요. 즉 F(b)＝(x＝a부터 x＝b까지의 정적분)＋F(a)가 되는군요.

 여기서 우변의 F(a)를 넘기면 미적분학의 기본 정리가 나옵니다. 참 쉽죠? 기하학적으로 깔끔하게 설명됩니다.

 미분과 적분이 전혀 관계없는 분야에서 출발한 것은 맞지만, 수학적으로 아무 관련도 없는 것들이 우연히 엮인 건 아닙니다. 리플들 중 일부가 미분과 적분과의 관계를 꼭 우연인 것마냥 써놓은 게 아쉬워서 적어봐요.

 아, 그리고 kirin 님의 말대로 이것이 vector calculus로 들어가면 확장이 됩니다. 미적분학의 기본 정리가 차원이 높아지고 함수가 벡터로 바뀌어도 확장된 형태로 성립한다는 걸 증명한 건데 이것은 어느 학부건 2학년 이상이나 되어야 배우는 부분이므로 자세한 건 강의로 배우는 걸 추천합니당. 그리고 해당 리플에 경계값이라고 나온 건 수학에선 잘 모르겠고 물리학에서는 boundary condition이라고 많이 쓰구요. 이 boundary condition은 정말 3차원 이상의 미분방정식과 관련된 분야라면 안 나오는 분야가 없는, 굉장히 중요한 부분이기 때문에 혹시 이 부분 하고 있는 학생들은 강의 잘 따라가세요. 그리 어려운 부분은 아니니까요. (쉽게 말해서 boundary condition이라는 건 적분에서 적분상수 구할 때 초기 조건 대입하는 거랑 같다고 보면 됩니다. 수학적으론 조금 더 복잡하겠지만요.)