과게에 세계 7대 수학난제중에 하나인 Navier-Stokes Equations, 이하 NSE 에 관하여 글이없기에 제가 아는 한도에서 글을 몇자 적어볼까합니다.

NSE는 점성을 가진 유체, Newtonian Fluid의 운동을(유체의 속도,압력, 온도 그리고 밀도)식으로 나타내어 해를 주는 방정식입니다.

이 방정식은 특정 조건하에 (유체가 Turbulence 일경우) 수학적인 오류가 나게되어 아직까지 일반해는 미제로 남은상태입니다. 그럼에도 불구하고,NSE은 다양한 분야에서 사용되고있는데, 유체를 예측하고 해석하는 분야(Computational FluidDynamics, CFD)에서는 필수로 사용된답니다.

NSE는 세가지의 기초 보존법칙,

1)     Conservation of Mass (Continuity Equation) – 질량 보존의 법칙

2)     Conservation of Momentum – 운동량 보존의 법칙

3)     Conservation of Energy – 에너지 보전의 법칙

로 구성되어 있습니다.이제 하나하나 알아보도록 하겠습니다

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1) 질량 보존의 법칙

우선 첫 공식인 Conservation of Mass 부터 알아보도록 하겠습니다.질량 보존의 법칙은 두가지의 형태로 유도가 가능한데, Eulerian과 Lagrangian의 유도방법이있습니다.(저는 Lagrangian이 더 익숙하기에 이 방법으로 설명드릴까합니다.혹시 Eulerian derivation이 관심있으시다면 링크를 참조하시길… https://www.grc.nasa.gov/www/k-12/airplane/eulereqs.html)

Lagrangian은 유체의 흐름에 따른 질량을 관점으로 보고있습니다.

다음을 식으로 표현하면

위 그림에서 본다면,X축에서의 유체 질량의 비율은

그리고 질량, m 은 밀도와 부피를 곱한값이므로,

따라서, x축에 대하여 유체 질량비율은 다음과같이 정리됩니다

같은방식으로 y와 x축으로 유체 질량비율을 나타내면 

x,y,z의 질량비율식을 하나로 묶어 표현하면 다음과 같이됩니다.

양변의 dxdydz를 없애주고 방정식으로 만들면 Lagrangian continuityequation이 유도되었습니다.

이제 운동량 보존의 법칙을 살펴볼차례입니다.

Newton’s Second Law이죠. 물체의 작용되는 힘의 합은 그 물체의 무게와 가속도를 곱한값이다.

으로 표현됩니다.

따라서, 위 식은 다음과 같이 정리됩니다.

Body force는 중력만 작용하는 경우가 대부분이므로 나머지 힘들은 제외하겠습니다.

따라서

 로 간단하게 표현됩니다.(fx는x축에서의 body force per unit mass)

그러면 Surface force가 관건인데요,

이 부분은 3 dimensional stress tensor를 파고 들어야합니다. 차근차근 집어봅시다.

위는 Shear stress 와 Normalstress를 아주 작은 유체입자에 나타낸 그림입니다. 전자는 유체입자의 표면 장력(τ)이고 후자는 표면 압력(P)을  뜻합니다. 표면 장력은 6개, 압력은 3개로 총 9개의 stress로 stress tensor를 구성합니다.

표면장력은 

표면압력은 정해진 축의 방향으로 가해지게 되므로 x방향에서의 표면압력은

종합하면 x축에서의 Surface force는 다음과 같이 됩니다.

이 두가지 힘, Surface force와 Body force를 더해x축에 작용되는 Net force(알짜힘)를 구하면 다음식이 됩니다.

Newton의 2법칙을 적용하여 다음과같이 좌항을 변환시켜줍니다

앞서와같이 질량, m은 밀도와 부피의 곱이므로

또 양변의 dxdydz를 없애주면 다음과 같습니다.

여기서의 Du/Dt 는 Substantialderivative라는 것인데, 이 주제로만해도 아마 몇시간은 잡아먹을것같아 다음차에 설명드리겠습니다.간단하게 mathematical tool 이라고 보시면 되겠습니다.

그러므로

또한 이 식은 다르게 표현되어 다음과 같이 표기됩니다.

최종적으로 x축의 Net force는 다음과같이 유도가 됩니다.

같은 방법으로 y와 z축의 Net force를 구해주면 다음과같습니다.