음... 저번에 이상한 글을 당당하게 올렸다가 기초적인 실수로 아직도 잠결에 이불을 차고 있지만...

뭐, 일단 정리도 할 겸 비슷한 거 하나 더 올려봅니다.

3차원 구면공간이란?

2차원 구면공간은 다들 익숙하겠죠? 네, 공입니다. 표면을 쭉쭉쭉 앞으로만 나가면 온세상 어린이를 다 만나고 다시 제자리로 돌아온다는 바로 그 구조죠.

자, 그러면. 이 3차원 구면공간에서 앞으로만 갔을 때의 궤적은 어떻게 될까요?

2차원 구면공간에서의 궤적은 익숙한 모습을 하고 있습니다. 바로 지구본의 경도선이죠.

이와 비슷한 선을 3차원 구면공간에서도 그릴 수 있습니다.

위의 그림을 앞뒤로 늘인 것을 중첩해 놓은 듯한 그런 모양이 되겠죠.

자, 그럼 3차원 구면공간에 행성 A가 있다고 가정해 봅시다.

A의 표면 위에서 하늘을 볼 때, 과연 뭐가 보일까요?

위 그림에서처럼, 행성 A의 뒷면이 보이겠지... 라고 생각하기 쉽지만, 경도선을 그어보면 의외의 결과가 나옵니다.

위 그림의 파란 선처럼, 낮은 각도의 경도선은 바로 근처의 반대쪽에서 끝납니다. 행성 A의 한 표면에서 하늘을 바라보면, 행성 A의 뒷면이 아닌 모든 면을 관찰할 수 있다는 거죠.

시뮬레이션을 돌려보면, 마치 뚜껑처럼 하늘을 덮고 있는 모습이 나올 것이라 예상할 수 있습니다.

A표면에 딱 붙어있지 않고, 어느 정도의 높이에서 관찰할 경우, 관측자는 아래를 내려다 봤을 때는 땅과 지평선을 관측할 수 있을 것이고, 지평선 너머로는 자기 자신의 뒷모습을, 그리고 그 위에는 지평선 너머의 나머지 부분을 관측할 수 있을 겁니다.

처음엔 가까우면 크고, 점점 멀어질 수록 작아지는 평범한 모습을 보일 겁니다.

하지만, 3차원 구면공간의 적도를 넘어 반대쪽 극좌표에 가까워지면 행성 B는 오히려 점점 커지게 됩니다.

경도선이 그려져 있는 첫 그림에서도 확인할 수 있듯이, 시야선이 다시 한 점으로 집중되기 때문입니다.

그리고 반대쪽 극좌표에 위치했을 때, 우리는 하늘을 행성 B의 앞면이 가득 채우고 있는 것을 관측할 수 있을 겁니다.

어느 하늘을 보더라도 행성 B만이 보이게 됩니다.

행성 A가 없다면, 행성 B의 앞뒷면 모두를 관측할 수 있을테고요.

행성 B가 반대쪽 극좌표를 통과해 점점 더 멀어지면, 하늘에서 관측되는 행성 B의 모습은 점점 더 확대되고, 점점 더 어두워지리라 예상할 수 있습니다.

그리고 하늘은 행성 B의 한 점이 되었다가, 점대칭으로 뒤집혀서 다시 점점 더 밝아지고, 하늘에서 차지하는 면적이 줄어드는, 처음에 행성A의 근처에서 멀어질 때와 비슷한 모습을 보이게 되겠죠.

음...

새로운 내용이라고는 하나도 없으니 좀 뻘쭘하네요.

누가 물리엔진으로 시뮬레이션 해주지 않으려나....

아, 그리고 3차원 구면공간에서 행성 A가 단위 면적당 100의 빛을 내고 있다면, 이 때 올려다본 하늘의 행성A'는 지표면보다 더 밝을까요 아니면 어두울까요? (단, 이 공간에서의 행성은 A가 유일하며, 대기효과 및 행성 표면에서의 관측자의 높이는 무시합니다)