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직선이 있다. 이 직선이 끝나는 지점 없이 제한된 길이를 갖게 하는 방법은 처음과 끝을 연결하는 것이다.

선은 원이 되었다. 선 내부적으로, 어느 한 점에서 출발하면 원래의 점으로 돌아오는 것으로 위상축이 360도 전환되었다는 것을 추측할 수 있다.

하지만 위상축이 바뀌었다는 것을 확인 불가능한 조건이 존재한다. 바로 이동 속도의 한계 이상의 속도로 선의 길이(원둘레)가 팽창하고 있을 경우가 그렇다.

시간 속도와 공간 한계 속도의 비가 1:1 이라고 할 때, 그래프의 개략은 위와 같다.

하지만 공간이 한계속도 이상으로 팽창하고 있을 경우, 한계속도 밖에 있는 위상점 P와의 거리는 다음과 같이 된다.

그리고 위상점 P는 공간의 팽창에 상관 없이 일정한 위상을 가지므로, 기준 거리를 P로 놓고 그래프를 수정하면 다음과 같다.

위상점 P는 모든 시간대에서 항상 기준점 O에서부터의 유한한 길이를 가지므로, 유한한 길이를 가진 원 OA를 상정할 수 있다.

또한, 이 팽창하고 있는 원 OA가 시간에 따른 거리 그래프인 L-t 평면에서 수직일 경우, L-t 평면 내적으로 스스로의 곡률을 측정할 방법은 존재하지 않는다.

이러한 특성은 직선이 아닌 평면좌표 및 공간좌표에서도 동일하며, 우리 우주가 한계속도인 광속 이상으로 팽창하고 있을 경우, 중심점 없는 유한한 크기를 가지면서 동시에 곡률을 측정할 수 없는 상태가 가능하다는 것을 보여준다.

(그래프를 그리고 싶지만, 평면좌표에서의 위상축은 4차원 축이고, 공간좌표는 5차원이라 무리....;;)

(자세한 수식도 만들어보고 싶지만, 이건 수알못이라 무리...;;;)