보통의 무한 급수 수능 문제는 이런 풀이 때문인지 길이보다는 넒이로 나옵니다.
제가 봤던 문제 중 무한 급수 문제인데 직관적으로 푸는 방법이 있었던 문제 몇가지를 소개합니다.
더 좋은 방법이라는 말은 아닙니다.
그냥 재미로 해보는 겁니다.
그림을 그릴 수 없어 말로 설명하는 점 양해바랍니다.
죄송합니다.
1. 좌표 평면의 원점을 중심으로 하는 반지름이 1인 원이 있다.
1사분면의 사분원에 내접하는 원을 그린다.
그 원의 중심을 O1 이라고 한다.
그 원을 다시 x 축과 y 축에 평행한 직선으로 중심을 지나게 사등분 한다.
그 네개의 사분원 중 오른쪽 위에 있는 사분원에 내접하는 원을 그린다.
그 원의 중심을 O2 라고 한다.
그 원을 다시 x 축과 y 축에 평행한 직선으로 중심을 지나게 사등분 한다.
그 네개의 사분원 중 오른쪽 위에 있는 사분원에 내접하는 원을 그린다.
그 원의 중심을 O3 라고 한다.
<계속 무한하게 반복한다>
이 때 원의 중심 On의 좌표를 (xn , yn)이라고 할 때
n이 무한대로 갈 때 On의 좌표는?
<풀이>
정상적인 풀이는 닮음으로 공비 구해서 구하면 되겠죠.
직관적 풀이는 다음 세가지 사실에 기반 합니다.
1) 내접원이므로 원의 중심은 처음 원의 밖으로 나가지 않는다.
2) 계속 모든 원은 공통된 접점을 갖는다.
3) 원의 반지름은 0으로 수렴한다.
즉 원의중심과 공통 접점 간의 거리가 원의 반지름인데 그 거리가 0으로 수렴하면
공통 접점으로 수렴한다는 거죠.
그리고 원의 중심은 모두 y=x위의 점이구요.
그래서 처음 원과 y=x 직선이 1사분면에서 만나는 점이 극한값이 됩니다.
<이 문제는 넓이 문제임에도 직관적 풀이도 가능함>
2. 좌표 평면에서 원점 O에서 시작해서
OA1의 길이는 6이며 A1은 O에서 x 축의 양의 방향에 있음
A1B1의 길이는 6 × (2/3) [3분의2입니다.] 이며 B1은 y축의 양의 방향에 있음
B1A2의 길이는 6 × (2/3) × (2/3) 이며 A2은 B1에서 x 축의 양의 방향에 있음
A2B2의 길이는 6 × (2/3) × (2/3) × (2/3) 이며 B1은 y축의 양의 방향에 있음
<이런 식으로 계단식으로 무한 반복>
이 때
직각삼각형
OA1B1의 넒이를 S1
A1B1A2의 넒이를 S2
B1A2B2의 넒이를 S3
A2B2A3의 넒이를 S4
<이런식으로 계속>
이 때 Sn의 넓이의 총합은?
<풀이>
당연히 정상적인 풀이는 S1구해서 닮음으로 공비 구하고 풀겠죠.
직관적 풀이는
그림으로 그려보면
O에서 출발해 Bn이 모두 한직선 위의 점들이고
An이 모두 한직선 위의 점들임을 알 수 있으며
두 직선의 교점으로 수렴해감을 알 수 있습니다.
결론은 그 교점을 N이라고 하면
삼각형 OA1N의 넓이를 구하면 답이 나온다는 겁니다.
<경고>
위의 내용은 수능 공부에는 큰 도움이 되지 않을 수 있습니다.
그냥 잠이 오지 않을 때 수면을 촉진하는 용도로 사용하시기 바랍니다.
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