$$f_n:[0,\infty)\to\mathbb{R},\;f(x)=\frac{nx}{1+nx^2}$$

임의의 $x > 0$에 대해 $\lim_{n\to\infty}\frac{nx}{1+nx^2}=\frac{1}{x}$이고 $\lim_{n\to\infty}0=0$이므로 $f_n$은

$$f(x)=\begin{cases}0,&\text{if }x=0\\\frac{1}{x},&\text{if }x>0<\end{cases}$$

에 수렴한다. 그러나 $\varepsilon=\frac{1}{2}$, $n_k=k$, $x_k = \frac{1}{k}$로 두면 $|f_{n_k}(x_k)-f(x_k)| = \left|\frac{k\cdot \frac{1}{k}}{1+k\cdot \frac{1}{k^2}}-k\right|=\left|\frac{k}{k+1}-k\right|=\frac{k^2}{k+1}\ge \frac{1}{2}=\varepsilon$이므로 고른수렴하지 않는다.