위 식이 완전미분인지 검증을 합니다.

d(1+3xy) / dy = 3x

d(x^2) / dx = 2x 

두 식이 일치하지 않으므로 위 두 개의 함수는 어떤 공통의 함수를 미분해서 얻어진 것이 아닙니다.

그러나 수식을 완전미분의 형태로 변형시켜 줄 수 있습니다. 적분인수라는 걸 곱해서요.

여기서는 2x를 맨위에 원래 식에 곱합니다. 그러면

(2x + 6x^2 y)dx + 2x^3 dy = 0

다시 완전미분의 조건이 충족되는지 확인합니다.

d(2x + 6x^2 y) / dy = 6x^2

d(2x^3) / dx = 6x^2 

위 두 식이 일치합니다. 따라서 방금 2x를 곱해 만든 새로운 수식은 완전미분의 형태이고 따라서 그것을 적분할 수 있습니다.

w = 2x^3 y 

dw = 6x^2 y dx + 2x^3 dy

(인테그랄 기호)6x^2 y dx + (인테그랄 기호)2x^3 dy = w = 2x^3 y

따라서 공통함수는 다음과 같습니다.

U = x^2 + 2x^3 y + C

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이제 질문이 입니다. w를 왜 2x^3 y 로 지정하는 걸까요?

그리고 dw를 적분하면 2x^3 y + 2x^3 y 이니까 4x^3 y 아닌가요 ..