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Below are collections of subsets of R. You can generate a topology on R with
each family by forming unions of a finite or infinite number of theses sets, and
then forming intersections of a finite number of these sets or their unions.
아래(14번 문제)의 리얼라인(R)의 부분집합의 모음인 아래(14번 문제)에서 너는 R에 대한 위상을 각각의 집합족으로
만들 수 있어요!
합집합 모양!-"무한 또는 유한의 숫자의 집합"의 합집합
교집합 모양!-"유한의 숫자의 집합"이나 "그들의 합집합들" 의 교집합
(a) Use each collection below to generate a topology T on R. Describe the sets
in each topology.
(에이) 아래것을 사용해서 R에대한 위상 T를 만드는것을 논할꺼에요. 각 위상에있는
집합들을 서술해요.
(b) By comparing the subsets of R in each generated topology with the usual topology
on R, show whether it is coarser, finer, equal, or not comparable with usual
topology on R.
(비) 보통위상과 비교해 보아요. 이게 더 엉성한지, 섬세한지, 같은지 비교 불가능 한지.
(14번째 문제에요)
ⅹⅰⅴ) Φ and all semi-intervals of the form ( a, ∞ ) = {x: x ∈ R, a < x} for all a ∈ R
아 교수님이 너무 눈이 초롱초롱하신 아일랜드 분이시라
눈빛만 보고 있으면 빠져 드네요 멍...
자! R 에서 의 위상이니까
위상 공간의 1번째 공리로 공집합과 R은 이 위상에 포함되겠군요!
편의상 ( a, ∞ ) = {x: x ∈ R, a < x} 를 X라 부를께요
그럼 X도 위상에 원소가 되겠네요.
T = { Φ, R, X } 위상이 만들어 졌어요!
그럼 이게 위상이 되는지 안되는지 증명해 봐야죠
1) 공집합과 전체집합은 위상안에 있네요
2) 모든것들의 합집합도 그 안에 있어야 돼요!
3) 유한개의 교집합도 그 안에 있어야 돼요!
열린집합의 무한 합집합도 열린집합이라 그렇게 방향을 잡았는데
그 길이 아닌거 같아요
아무 인덱스 하나 i 를 정할께요. i 는 I(대문자 아이) 안에 있어요
여기서 i 값이 작을 수록 -∞ 에 가깝고 클 수록 +∞ 에 가깝다고 하면
합집합의 (a_i, ∞) 는 (a_minimum i(제일 작은 아이), ∞)
만약 여기서 a가 마이너스 무한대 쪽으로 쭉~ 가면 R 이 되네요!
교집합의 (a_i, ∞) 는 (a_maximum i(가장큰 아이), ∞)
요런 모양이네요 결국 a_i 제일 큰 아이든 제일 작은 아이든
a 에 속하니까 (a, ∞)의 모양 즉 X가 되네요
그런데 교수님이 그럼
합집합의 (a_i, ∞) 가 (b, ∞) 면 어떻게 되니? 라는데
제가 알아 먹은지 모르겠는데 요렇게 말씀 하셨어요
에이아이의 경계가 비로 수렴 하면 어뜩하니?
if {a_i} is bounded below by b
U ( a_i, ∞) = ( b, ∞)
i∈I
그럼! 여기서 부터 제가 뭘하고 있는지 뭘 해야 되는지 모르겠습니다.
제가 문제는 제대로 이해 한건지
Usual topology 가 Euclidean topology 라는데
그럼 a-r < x < a+r 이라면
(a-r, a+r) 하고 (a, ∞) 는 비교 불가능 같은데
교집합은 (a, a+r) 만들어 지겠지만
아, 3일째 잡고 있어요
제가 문제를 이해 한건지
비교 불가가 맞는지
어떻게 요게 위상이다 증명 하라는 문제가 맞는지
맞든 아니든 증명이 어떻게 되는지
교수님말은 어떤 뜻인지
도움이 필요합니다
교수님이 너무 초롱초롱한 눈빛으로 이정도 말했으면
이해 했겠지? 하는 표정인데...
너무 죄송해서 ok, Sir ! 하고 나왔어요...
컴퓨터쟁이에겐 위상의 깊이는 너무 깊네요 ㅎㅎ
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