제가『이뤄내고자 하던 것』을 간단히 표현하기에는 무리입니다. 따라서, 님께서 뭔지 모르겠다고 하신 것은 현 상황에서 지극히 정상입니다.

제가 그것의 목적성 및 그것들을 명확히 하기 위한 용어들의 정립 '수학', '산수', '직관', '통찰', '발견술', '천재', '암산' 등은 물론이거니와 다른 분들의 말씀을 통해 추가해야겠다고 판단한 '수학하기'와 그에 따른 '산수하기' 및 '추상화', '빠르기' 등을 정리한『신규게시물』을 아직 작성하지 못했기 때문이지요. 그리고 그 작업을 해야 할 차례가 도달했구나라고 생각하고 있었으나… (이하 생략 ㅋㅋ)

그런데 님의 글에 달았던 저의 (아래에 퍼온) 댓글의 예상치 못한 변수가 발생하였으니… 그것이 님께서 제게 던져주신

　그럼 수는 도데체 뭘까요?

라는 질문이 되겠군요. 그런데 아직 약합니다. ㅎㅎ 님같은 분들이 한 10명은 더나와야 전면 백지화의 백지화를 고려해볼 법 하니;;

그래도 님께서 차갑게 식어서 굳어가던 제 마음 속의 불씨에 바람을 한 번 후~ 하고 불어주셨기에 이렇게 님께나마 댓글로 끼적끼적대고 있게 되었네요. 덕분에 새로이 작성해주신 본 글 잘 보았습니다. (생업에 바쁘실텐데 이처럼 글 새로 써주시기 쉽지 않았겠죠.)

중2병 스러운 저의 답변을 보자마자 든 첫 생각이 무엇이었을지 궁금하네요. ㅎㅎ (헐~ 이 새끼 뭐야? 정도 아닐런지;;)

아무튼 신규로 작성해주신 전 글 및 본 글과 비록 제가 내용확인을 못한 삭제 댓글이기는 하나 묘한생각 묘한풀이에 댓글을 달려고 시도하셨던 점에 대하여 다시금 감사드리며, 이하 올려드릴 세 대댓글에

　'하시려던것이 뭔지는 모르겠으나'

라는 님의 댓글에 대한 어렴풋한 답변의 조각들이라도 넘겨드리도록 하겠습니다.

딱히 설명이 필요 없을 듯 합니다. 박스 쳐 둔 부분을 원합니다. 내가 써먹기 위해서도 그렇고, 타인에게 전하기 위해서도 그렇고…

동료 선생 한 분이 이러시더군요.

　하나를 가르치려면 오십은 알아야 하더라.

제가 그간 겪으며 저 한 마디를 계속 재검도해 보았더니 이리 바뀌더군요.

　하나를 가르치려면 가르치려는 그것에 대한 해상도를 (학생 대비) 오십 배는 올려야 하겠더라.

저 풀이를 보신 분들 중 상당수는 아마도

　'뭔~ 25 단계나 거쳐 문제를 푸는거야!'
　1 부터 4 스텝은 필요도 없고…
　(6, 7, 8 스텝) → (13, 14, 15 스텝) → (18, 19, 20 스텝) → (24, 25 스텝) 으로 완성!

정도면 되는 것 아니야? 라고 생각하셨을 듯 합니다. 사실, 저 25 스텝 다 안밟고 징검다리 건너듯 건너뛰며 문제 해결과정이 진행될 수 있습니다. 그러나 그 징검다리를 얼마나 껑충껑충 뛰어 건너다니는지는 순전히 개인 역량에 의해 판가름 나겠지요.

제가 위에 표현한 '해상도' 라는 단어는 바로 이 때문에 등장한 것입니다. 이것이 상대적으로 실력이 떨어지는 아이들을 평소에 얼마나 헤아려왔는지에 대한 척도가 되기 때문이지요. 뒤집어 말하면 개인별 지적 능력에 대한 자신감 혹은 거만함을 가늠해볼 수 있는 척도로 쓰일 수 있다는 말도 되겠군요.

그러한 '해상도' 가 높은 사람일수록 타인을 잘 이끌어줄 수 있는 사람일 것이며, 무지의 진창에 빠져 헛바퀴를 돌며 허우적댈 나 자신을 스스로 끌어낼 능력이 있는 사람이 되리라고 봅니다. 저는 학생들에게 그런 능력을 심어주고 싶었으며,

이러한 마음가짐을 마음 속 밑바닥에 깔아둔 채, 힘들고 괴롭지만 돌거인님의 말씀대로 '계속 생각' 하며 정진하면 무엇인가 '진보'를 얻을 수 있습니다. 그리고, 바로 그 때가… '고의적 직관의 발현'이라 할 수도 있을 바로 그 '통찰'이라는 것이 성장하는 시간이기도 하고요.

에고 바로 윗 문단은 다음 댓글 짤방에 써야 할 내용이었네요. 이야기가 심히 길어진 느낌이니 이만 끊겠습니다.

이미 말씀드렸던 대로 최종 정리가 미처 이뤄지지 않은 미완의 생각이긴 하나, 아래의 캡쳐 파일이 제가 필요로하던 것을 가장 잘 보여주고 있다고 할 수 있겠군요. 이렇게 정리하며 마무리 짓겠습니다.

　'직관'의 컨트롤을 감히 넘볼 수는 없으니, '통찰'의 컨트롤을 익혀 그것을 수족 부리듯 하고 싶다. 어떻게 그 경지에 도달할 수 있을까?

이로써 님께 제가 '하고자하던 것'에 대한 대략적이나마의 설명을 마치겠습니다. 관심 및 댓글 그리고 신규 작성글 모두 감사했습니다.

덧셈이나 뺄셈 정도는 일단 그 정도로 생각할 수도 있겠지만, 곱셈이나 나눗셈 같은 건 설명하기 힘들 것 같네요. 그냥 스칼라라고 생각하면 될 것 같은데 왜 이상한 비유 같은 걸 가져오시는지 잘 모르겠습니다.
본인 생각이 뭔가 직관적이라고 생각해서 이런 주장을 하시는 것 같은데 잘못된 개념을 알려주는 것보다는 차라리 그냥 놔 두는 게 더 나을 것 같네요

갯수는 자연수로 끝납니다.
허수나 음수는 이미 추상적으로 방정식의 해를 구하기 위해 나온 수이기 때문입니다.

양를 가진 수를 의미한겁니다. 갯수가 하나 둘 이런식으로 세는 걸 말한거죠 음수 셀 수 있나요? -1개 이런식으로 할 수 없죠.
허수를 직접적으로 셀 수 있나요? 아니요..
그러나 자연수는 가능합니다.
저는 그걸 말한겁니다.

그리고 길이같은것은 개수랑 관련이 없죠.
길이는 표준 단위를 지정한뒤에 하는거니까요.
저는 길이를 이야기 한적이 없습니다.
수의 기원이 개수세기 부터 시작하여 자연수가 나왔구요 이를 길이나 다른 양에 적용하고 확장해서 양의 유리수가 나왔구요.
음수와 허수는 위에 언급한 것 처럼 방정식의 해를 구하면서 나온 것입니다.

또한 허수를 i가 한개 두개 이런식으로 생각하면 복소수에서 크기를 따질 수 있다는 인식론적장애가 일어날 수 있습니다.
그래서 개인적인 가르침은 태클을 걸 수 없겠지만 그점에 유의해야하죠.

사과 한개고, 사과 반쪽 한개죠.
지금 수학에 일반 단위를 집어 넣어서 혼란하게 만드는데 실생활 응용문제말고 단위를 없애는것이 이런식으로 얼마든지 만들 수 있습니다.

길이 πcm를 제가 1pm이라고 하자. 이걸 무리수냐 이런것을 따지자는것이 말도 안되는거구요.
왜 수학에서 삼각형의 변의 길이를 항상 1cm가 아닌 1
이라고 단위를 없애버리는지 생각해보시기 바랍니다.
곱하기를 개수로 이해하면 초반에는 좋겠죠
분명히 나중에 확장하면 오류가 일어난다고 말씀드리구요. i*i는 무엇으로 설명하실겁니까?
허수 i가 i개?? 말이 안되죠.

님이 주장하시는 개수는 자연수로 끝납니다.
크기는 실수에서 끝나구요.

다시 말하면 1+2i와 3+5i 어느것이 크죠?
복소수에서는 크기를 비교하는것이 말도 안되는것 아시죠?

수에서 추상화를 할때 초반에는 개수나 크기등으로 시작하지만 그걸 떠날 필요성이 있습니다.
제가 계속 말하고 있구요.
아마 님이 하시는 초등학교나 중학교에서 지도하신다면 태클을 안걸겠지만.
고등학교에 와서 복소수 배울때 크기나 개수로 대입하여 1+2i와 3+5i의 크기를 비교하는 인식론적장애(기존에는 성립하다고 생각하는 성질이 확장했을때 성립하지 않아 겪게 되는 오류)가 발생해요.

근데, 그걸 가르칠때 조심하라고 말씀드린것인데 말이에요

"더 나아가 x 랑 3x 랑 누가더 큽니까?
하지만 3x 라는 것이 x 가 3개 있다는걸 인정하기 어려우십니까?"
에 답을 하자면 전자는 알수 없거나 크기 비교 불가능할 수 있다 입니다. x가 -1이면 x>3x이구요
x가 실수가 아닌 복소수라면 크기를 따질 수 없죠.
3x가 x가 3개라는 말은 앞에 붙인 계수(스칼라)가 자연수니까 자연스러운거죠.
계수가 허수나 무리수 이런걸 붙이면 이상해지죠.