1. 동전을 백번 던졌더니 앞면이 70번 뒷면이 30번 나왔다. 동전을 계속해서 던질때 언젠가 앞면이 나오는 횟수가 뒷면이 나오는 횟수와 같아지는 순간이 올 확률은? 답 :1 

도박사의 오류와 혼동해서는 안 됩니다. 도박사의 오류는 101번째(혹은 앞으로 10번을 더 던지는 상황 등 횟수가 미리 정해진 경우) 던졌을 때 뒷면이 나올 확률이 더 높다고 생각하는 오류입니다. 큰수의 법칙은 시행의 횟수가 무한대로 갈 때 앞면/뒷면 비율이 1에 가까워진다는 것을 말해줍니다. 큰수의 법칙만으로는 앞면/뒷면 비율이 정확하게 1이 되는 순간이 온다는 것을 증명할 수는 없습니다. Random walk 이론을 적용하면 비율이 1이 되는 순간이 반드시 발생함(조금 더 정확하게는, 비율이 1이 되는 사건이 발생할 확률이 1이 됨)을 증명할 수 있습니다.

2. A, B 두 사람이 동전을 던져서 내기를 합니다. 앞면이 나오면 B가 A에게 100원을 주고 뒷면이 나오면 A가 B에게 100원을 줍니다. 동전을 무한히 계속 던질 때 언젠가 A의 이익이 1조원(B의 손실이 1조원)이 되는 순간이 올 확률은? 답: 1

 A가 1조원을 벌 때까지 시행해야하는 경기수의 기대값은? 답:무한대(언젠가는 그런 순간이 오지만 언제올지 모를 정도로 하염없이 기다려야합니다.)

A 또는 B중에 먼저 1조원을 버는 사람이 있으면 경기를 마치기로 했습니다. 평균 경기횟수는? 답: 10^20번 

위 두 결과가 모순되어보이지만 신기하게 둘 다 사실입니다. 

1과 마찬가지로 random walk이론 또는 마팅게일 이론을 이용하면 증명할 수 있습니다. 

3. A, B 두 사람이 동전던지기 내기를 합니다. 이번에는 승률만 기록합니다. 99번의 경기동안 어느 한 사람의 승률이 다른 사람의 승률보다 항상 크거나 같을 확률은? 예를 들어 3번의 경기를 해서 앞,앞,뒤가 나왔다면 A의 승률은 1,1,2/3 이고 B의 승률은 0,0,1/3 이런식으로 기록합니다 답:대략 16%

생각보다 큰 확률입니다. 6번 중에 1번꼴로 99번 연속해서 동전을 던지면 어느 한 사람의 승률이 항상 큽니다. 직관적으로 생각하면 승률이 엎치락뒤치락 할 것 같지만 그럴 확률은 굉장히 낮습니다. 

4. 동전던지기는 아니지만 3번 확률의 증명과 관련된 문제입니다. Ballot theorem이라고 굉장히 유명한 정리입니다. 10000명의 유권자가 후보 A,B에게 투표해서 A가 5500표, B가 4500표를 득표했다. 개표과정에서 A가 첫개표에서 10000번째 표를 개표할 때까지 항상 선두를 유지할 확률은? 답 :(5500-4500)/10000=1/10

마찬가지로 생각보다 큰 확률입니다. 

Feller, An introduction to probability theory and its application vol1 chapter3를 참고하시면 필요한 증명을 찾을 수 있습니다. 위 문제들에서 동전은 완벽하게 공평한 동전입니다. 앞/뒤 확률이 1/2이 아니면 성립하지 않습니다.