오늘의유머 - [잡담] 보도블록 기하학 #2 - 타일링은 몇가지 방법이 있는가?

동일한 정다각형으로 평면을 채우는 방법은 딱 3가지 방법 밖에 없습니다. 정삼각형, 정사각형, 정육각형.

다만, '모든 꼭지점은 꼭지점끼리 만나야 한다' 라는 제약은 존재합니다.

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그런 제약이 존재하지 않는다면, 정삼각형이나 정사각형의 경우 조금씩 밀어서 배열하는 방법이 존재합니다.

이 경우라면, 얼마든지 수많은 타일링 방법을 생각할 수 있겠지요.

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1가지 정다각형은 쉬우니, 2가지 정다각형으로 바로 넘어가죠.

변의 길이가 같은 2가지 정다각형으로 만들 수 있는 타일링 방법은 몇가지나 있을까요?

불행히도 이 문제의 답은 '무한대' 입니다.

정삼각형으로 가득찬 평면을 상상하고, 그중 6개의 삼각형이 모여서 정육각형을 만들었다고 하죠. 이것은 2가지 정다각형으로 평면을 채운 한가지 방법입니다.

그런데, 정육각형이 1개만 있을 필요는 없으니, 1개 더 추가해 보죠. 두 정육각형이 점으로 접한 경우, 모서리로 접한 경우, 한칸 떨어진 경우, 2칸 떨어진 경우, 3칸 떨어진 경우...... 단 2개의 정육각형만으로도 무한한 경우의 타일링 방법이 존재하게 됩니다.

게다가, 정육각형이 3개인 경우, 4개인 경우, 5개인 경우, ... 무한히 많은 경우. 등등.

정말 셀 수 없이 많은 종류의 타일링 방법이 존재합니다.

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다른 식으로 상상해 볼 수 도 있는데,

정삼각형이 가득찬 평면에 한 줄을 위아래로 밀어서 공간을 만들고 그 사이에 정사각형 한줄을 채우는 방법도 있습니다.

거기에 한 줄 더, 한 줄 더... 를 계속 할 수 있으니 이 방법으로 역시 무한대의 패턴을 생성할 수 있습니다.

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타일링 방법이 무한히 방법이 많으니 그걸로 끝...... 일까요?

수학자들이 그럴 인간들이 아니겠지요. 그 수많은 타일링 방법을 분류하기 시작합니다.

일단, 패턴이 균일하게 반복되는 경우를 추려 냅니다.

2가지 이상의 정다각형이 사용되는데, 모든 '점'에서의 다각형 연결형태가 동일한 경우는 딱 8가지가 있습니다.
이를 'semiregular tessellations' 또는 'semiregular tiling' 또는 ' uniform tiling' 이라고 부릅니다.

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다각형의 연결형태가 딱 2가지 방법만 있는 경우도 생각할 수 있습니다.

이 경우는 20가지가 존재합니다.

다만, 위의 파란 그림에서도 연결형태는 딱 2가지 뿐입니다만 해당되지 않습니다.

엄격한 분류를 위해서 조건이 더 들어가지만, 결과적으로 이 때문에 반복패턴만 남게 됩니다.

여튼 이런 패턴을 'demiregular tessellations' 또는 'demiregular tiling' 이라고 부릅니다.

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당연히 연결형태가 3가지 인경우, 4가지 인경우.. 등등을 모두 생각해 볼 수 있겠죠.

그리고, 모든 분류가 다 끝난 것도 아닙니다. 7이상인 경우는 패턴이 몇개나 되는지도 아직 모릅니다.

무한대의 경우를 정밀하게 분류하는 작업은 쉬운게 아니니깐요.

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참고로. 이에 대해서는 위키백과 보다 울프람이 더 이해하기 쉽게 설명되어 있습니다. (무엇보다도 그림이 보기 좋습니다.)

http://mathworld.wolfram.com/Tessellation.html