그런데, 같은 정다각형인데 크기가 다른 경우는 어떻게 될까요?
예를 들어 한변의 길이가 1인 정사각형과 한변의 길이가 2인 정사각형으로 평면을 채울 수 있을까요?
양의 정수 배라면 너무 나도 쉽습니다. 사각형 4개를 묶어서 한변이 2 인 사각형을 만들면 됩니다.
3인 경우는 사각형 9개를 묶으면 됩니다.
이는 정삼각형인 경우에도 동일합니다. 정수배면 그만큼 늘려 주면 됩니다.
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아쉽지만, 정육각형의 경우, 그 모양 때문애 서로 다른 크기의 정육각형로는 평면을 채울 수는 없습니다.
그리고, 이 경우, 꼭지점 끼리 서로 맞닿아야 한다는 조건은 근본적으로 성립이 불가능합니다.
예를 들어 한변의 길이가 1인 정사각형과 한변의 길이가 1.5인 정사각형으로 평면을 채울 수 있을까요?
1.5 는 분수로 표기하면 3/2 이고, 이를 2배를 하면 정수가 되지요.
1.5 배인 경우라면 2배씩 쌓으면 딱 정수배가 됩니다. 5/3 이면 3배라면 되겠지요.
임의의 유리수 p/q 인 경우에도 한쪽 방향으로 q 개를 쌓으면 딱 정수로 떨어집니다. 실제로 q^2 개면 딱 떨어집니다.
이 성질을 이용하면 유리수비를 가지는 어떤 두 수에 대해서도 정삼각형, 또는 정사각형으로 평면을 채울 수 있습니다.
유리수인 경우도 쉽죠?
그럼 무리수면 어떻게 될까요?
무리수라면 아무리 정수배를 하더라도 정수로 나누어 떨어지지 않습니다.
예를 들어 한변의 길이가 1인 정사각형과, 한변의 길이가 √10 인 정사각형으로 평면을 채울 수 있을까요?
여기서 뜬금 없이 '피타고라스의 정리'가 튀어 나옵니다.
이를 이용해서 위의 그림처럼 2개의 정사각형을 교대로 배치하면 평면을 채울 수 있습니다.
이는 무리수 뿐만 아니라 정수, 무리수 가능합니다.
1 과 √10 인 정사각형이라고 했으니, 이를 합성한 √11 짜리 정사각형으로 평면을 채운 뒤,
이를 다시 피타고라스의 정리를 이용해서 분할한다고 생각하면 됩니다.
실제로 이런 식으로 배열하는 것을 '피타고라스의 타일링'이라고 부릅니다.
크기가 다른 2개의 정사각형은.
그 비율이 어떤 두 양의 실수 a:b 이더라도, 이를 이용해서 평면을 채울 수 있습니다.
그런데, 정삼각형은 피타고라스 정리가 성립하지 않지요.
그렇다면 무리수 비율을 가지는 두 수가 주어질 때 이 크기를 가지는 두 정삼각형으로 평면을 채우는 것은 가능할까요?
정답은... 일단 가능합니다.
그럼 문제.
문제) 한변의 길이가 1인 정삼각형과, √10 인 정삼각형을 이용해서 평면을 채우는 방법을 찾으시오.
힌트) 평면을 가득 채우기만 하면 되며, 꼭지점끼리 반드시 만날 필요가 없다는 점을 이용하세요.
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