참고로, 수능 29번 풀이를 보니까 두 평면이 모두x축에 평행하므로 x축에 수직인 평면으로 자른 단면을 이용하여 2차원적으로 푼다고 했는데...벡터PQ가 x축과 수직이라는 보장이 없는 한 그렇게 풀면 안되는 거 아닌가요? 저는 이렇게 풀었는데 맞았는지좀 알려주세요

벡터PQ가 평면 y=4 와 이루는 각을 a, 평면 y+(루트3)z+8=0과 이루는 각을 b라고 하면 2|PQ|^2-|P1Q1|^2-|P2Q2|^2=|PQ|(sin^a+sin^b)다.

이때 |PQ|=4, 즉 |PQ|가 가능한 길이중 최댓값임을 증명해보자. 만약 |PQ|＜4일때 최댓값을 갖는다고 하자. 그런데 벡터 PQ와 평행한 구의 지름 P'Q'를 잡을때 P'Q'은 두 평면과 이루는 각이 벡터 PQ일때와 같고 길이는 |PQ|보다 크므로 |PQ|＜4일때 최댓값을 갖는다는 것은 모순이 된다. 따라서 벡터 PQ는 반드시 구의 중심을 지나야(다시말해 길이가 최대가 되어야)한다.

벡터PQ가 구의 중심을 지나므로 이 벡터의 방향벡터는 P의 좌표와 같다. P의 좌표를 (x, y, z)라고 하면 x^2+y^2+z^2=4가 성립한다. 이때 y=4의 법선벡터를 벡터h1=(0, 1, 0), y+(루트3)z+8=0의 법선벡터를 벡터h2=(0, 1, 루트3)로 놓고, 벡터의 내적을 이용하면 sin^a=y^2/4, sin^b=(y+(루트3)z)^2/16이 된다. 이를 더하면 (5y^2+2(루트3)yz+3z^2)/16이 된다. x=k (-2≤k≤2)라 놓으고 매개변수 t를 이용해 y=(루트(4-k^2))sint, z=(루트(4-k^2))cost라고 놓으면 준식의 최댓값은 6(4-k^2)이고, k에 0을 대입해야 최대가 되므로 답은 24.

참고로 이 사진은 수능 성적...탐구를 잡쳤네...