실수의 집합 R 을 두개의 부분집합 A B 로 나누고 싶습니다..

> A, B 는 모두 카디낼러티가 R 와 같으며, 
> A, B 의 합집합은 R
> A, B 의 교집합은 공집합이 되게 하고 싶습니다.

추가로 원하는 조건은 다음과 같습니다..

> A 에 속한 임의의 서로 다른 두 원소 a1 < a2 가 있을때,
> 적당한 원소 b3 가 B 에 존재하여, a1 < b3 < a2 를 만족한다.
> 또한, B 에 속한 임의의 서로 다른 두 원소 b1 < b2 가 있을때,
> 적당한 원소 a3 가 A 에 존재하여, b1 < a3 < b2 를 만족한다.

위와 같은 조건을 만족하는 집합 A,B 는 어떻게 만들 수 있을까요?

- 엔델 -

ps> 과게에는 유리수 문제를 먼저 냈지만, 처음 생각한 문제는 이거 였습니다.
그리고, 제가 찾아낸 이 문제의 답은 좀 tricky 했습니다.

ps2> 유리수와 무리수로 나누면 이 문제의 원하는 조건에 거의 만족하지만, 
유리수의 집합 Q 는 카디낼러티가 R 과 같지 않죠.