기둥뒤의  공간있어요를  수식적으로 풀어 봤어요 ;;
솔직히 완벽한 답을 내는것은  손계산으로는 불가능하더라고요 (너무 많은 연산이 필요함;;;)
(프로그램  돌리면  쉬운데;;)

어쨋든 들어 갑니다.
1.우선 직관적으로 이 용수철의 무게중심은 가운데에 있지 않고 가운데보다 약간 아래에 있는것을 알수가 있지요
2.F=Ma=Mg=k△x 
  M=총 질량, L=늘어나기 전에 용수철 길이, k=용수철 상수 값, M=L*p
  g=중력 가속도, p=단위 길이당 질량 
정도로  놓읍시다.
3. L을 L만큼 나누어 줍시다.그러면 단위 길이 1은 같은 질량을 갖겠지요,
  그리고 나서 용수철의 윗부분이  고정되어 있다고 하고 용수철을 중력에 의해서 늘어지게 합니다.
그러면  용수철의  총 길이= L+ 늘어난 길이가 되겠지요,  변수 a를 0<a<L로 정의 해 줍니다.
가장 윗부분 1은 (M-(1*p))g/k=   △x 만큼 늘어 나겠지요.
그다음 부분 2은 (M-(2*1*p))g/k=   △x 만큼 늘어 나겠지요.
a  부분은 (M-(a*1*p))g/k=  △x만큼 늘어 나겠지요.
이런식으로  시그마 x를 구하면 
                          / L          /L
인테그랄 0부터 L까지      |  △ x da= ㅣ   (M*g/k - a*(p*g/k)) da        da에 대해서 적분해 줍니다.                       
                         / 0          /0
※그러면 (M*g/k)*L - 0.5L^2(p*g/k) 이 나오고  M=L*p 임이므로 (p*g/k)(L*L-0.5L^2)  이 됩니다.
=> (pg/k)(1/2L^2)  이 됩니다.

총 길이는 L+ (pg/k)(1/2L^2)
이고 고정되있는 곳으로부터  무게 중심 까지의 거리는 같은 식으로 풀었을때 0.5L+ (pg/k)(3/8L^2)
이 됩니다. 
※무게 중심은  총 길이/2 보다  아래에 있습니다.

4.자  이제  부분 별로 늘어나는 길이를 구했으니깐  마지막  용수철부분 L과 무게 중심 m 와 과의 상대 가속도를 구해서 그 차이가  중력 가속도와  같으면  마지막 용수철 부분 L은  절대 좌표계로 봤을떄  움직이지 않는 것이 됨으로 이  문제를 증명할수 있을거라  생각 했지만 

(상대 좌표계를 이용해서 무게 중심이 가만히 있고 L부분이 무게 중심을 향해 (kx=mg을 이용)가속도 g로 움직이면 다시 절대 좌표계로 봤을떄 L부분은 움직이지 않는것이 됨으로, 또는  무게 중심이 가속도 g로 떨어지는 것과 L이 가속도 g로 올라가기때문에  서로  상쇄 ) 
 
  무게 중심을 구해서는 풀수가 없더군요 -_-  (ㅅㅂ!!!!!) 
용수철이 떨어 지고 있을때 무게 중심이 절대 좌표계로 봤을때  g 가속도를 가지고  떨어지지 않더군요
상대 좌표계로 봣을때 용수철내에서 상대 운동을 해서 무게 중심이 아닌 다른 지점이 가만히 있더군요. 

5. 그래서 임의의  점 b    0<b<L 를  기준으로 봣을때  위치 에너지가 위 아래로 같은 지점을 골라야 했습니다.( 우선 중력가속도 무시하에 )
(원래는  힘 평형 방정식으로 구할려고 했는데 힘평형 방정식으로 구하면 기준점 위아래의 질량이 달라 식이 맞지 않는것 같네요 ;;  ;;)
 그럼 J=Fx  입니다.
그럼  J=Fx 를 인테그랄 0에서 b까지,  인테그랄 b에서 L까지 해서  같은 값이 나오면 됩니다. 
x= 1/2*a(가속도)*t^2   => x= (1/2)*(F/m)*t^2
J=F*F*(1/2)*(1/m)*t^2
  후  그런데  도저히  구할 수가 없네요 -_-++++++ 이중적분에 ;;; 시간에 따라서 또  수식이  바뀌어서 ;;
대학교를 넘어서는것 같네요  ㅠㅜㅠㅜㅠㅜㅠㅜㅠㅜ

6. 여기서 부터는 수식적으로는 정리를 못할것 같네요.
   위 식에서  기준점  b를  구하면  용수철 총 길이의 /2 보다  위에 존재할것 입니다. 
중력 가속도가 없다고 가정했을시
b를 기준으로 용수철 위는 b를 향해서 빠른 속도로  줄어들 것이고 (용수철 위에 부분은 변형이 많이 되었기 때문)
b를 기준으로 아래는 느린 속도로  b를 향해서 변형을 할것입니다.(용수철 아래에 부분은 변형이 적게 되었기 때문)
또한 b는 용수철의 중심을 향하여  움직일 것입니다. 즉 b는 용수철의 7:3 처럼 일정한 비례를 가지는 것이 아니라  시간에 따라 7:3->6:4->5:5 로 바뀜
다시 말하지만 기준점 b는 위와 아래는 동일한 에너지가  소모가 되는 점입니다.

다시 중력 가속도가 있다고 하면
기준점 b는 가속도 g만큼 떨어질 것이고 (여기서 모순이 있는데 위에서 제가 b는 시간에 따라 바뀐다고 했습니다.  즉 용수철의 어느 부분도 가속도 g로 일정하게  떨어지는 부분이 없다는 것입니다.)
 b 기준점 위는 중력가속도보다  더 빠른 속도로
 아래는 더 느린 속도로 바뀜 니다.
그래서 맨 아래부분은 중력을 받음에도 불구하고 b점을 기준으로 중력 반대 방향의 힘을 받게 됨으로 정지해 있는것처럼 보입니다.

또한 무게 중심은 상대 좌표계에서는 약간이나마 올라가게 되며 
절대 좌표계에서는 약간 내려갑니다.

기준점 b와 무게 중심이 만났을때  즉  용수철에 중심에 왔을때 부터 다서 가속도g를 가지고 전체가 이동합니다. 


장황하게 써 놓고  정작  구하지를 못했네요 ㅠㅜ   수고하세요;;

3줄 요약

수식으로 풀려고 했으나 실패 
용수철의 끝은 무게 중심이 아닌 기준점 b를 기준으로 움직이며, 기준점 b 위의 용수철 변형 에너지가 용수철 아래의 위치에너지를 상쇄 시켜준다. 변형이 끝났을 경우 다시 내려가기 시작한다.

내가  7시간 동안 무엇을 했는지  모르겠다.;;;;;