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증명은 자연수를 정의하는 페아노 공리계에서 출발한다. 자연수는 다음 가정을 만족하는 가장 작은 집합이다.

P1. 1은 자연수이다.
P2. x가 자연수이면, 다음 수 x'도 자연수이다.
P3. x' = 1을 만족하는 x은 존재하지 않는다.
P4. x가 1이 아니라면, y' = x를 만족하는 y가 존재한다.
P5. S가 자연수의 부분 집합이고 1이 S의 원소이고 S가 모든 원소에 대해 그 다음 수를 포함하면, S는 자연수 전체의 집합이다.
 
더하기를 귀납적으로 정의해야 한다.

정의: a와 b를 자연수라 하자. b = 1이면 a + b = a'라 정의한다(P1, P2 사용). b = 1이 아니면, (c는 자연수) c' = b라 했을 때(P4 사용), a + b = (a + c)'라 정의한다.
 
2를 정의해야 한다.

정의: 2 = 1'
 
2는 P1, P2 및 2의 정의에 의해 자연수이다.

증명: 더하기 정의의 첫 번째 부분에 a = b = 1이라 하면, 1 + 1 = 1' = 2 Q.E.D.

참조: http://mathforum.org/library/drmath/view/51551.html
 
이게 1+1=2 증명의 버트란드 러셀 버전인 걸로 알고 있습니다. 위 증명을 보면 다른 자연수 덧셈은 자명함을 알 수 있습니다.

예) 2 + 2 = 4 증명
정의: 3 = 2'
정의: 4 = 3'
2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 2' + 1 = 3 + 1 = 3' = 4 Q.E.D.

버트란드 러셀이 이런 너무나도 당연한 것들을 증명하고 정리하고 다녔는데 이게 괴델의 불완전성 정리와 시기적으로 재미있게 이어집니다. 괴델의 불완전성 정리로 이어지는 건 tbc~

출처: http://freethinker.kr/15550

1+1=2가 근거없는 약속이라는 이해불능한 바보가 보이길래 지나가다 1+1=2 증명올리고 갑니다.