자연수는 다음으로만 만들어진다

0 은 자연수다. S는 자연수에서 자연수로의 함수다.

위의 두 규칙으로 구성할 수 있는 원소는 다음과 같습니다:

0

S 0

S (S 0)

S (S (S 0))

...

이를 0, 1, 2, 3, ... 에 대응하면 자연스럽습니다. S가 + 1 의 역할을 하는 것이죠.

어떤 자연수를 위의 규칙으로 나타내는 방법은 하나 밖에 없으며

위의 규칙으로 만든 어떤 원소가 나타내는 자연수는 겹치지 않고 명확합니다.

이제 정수를 위와 같이 매끄럽게 정의 하고 싶습니다. 하지만 잘 안되네요.

제가 시도한것은..

0은 정수다. S 는 정수에서 정수로의 함수다 (+ 1). P는 정수에서 정수로의 함수다 (- 1).

즉 ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... 은

... P(P(P(0))), P(P(0)), P(0), 0, S(0), S(S(0)), S(S(S(0)) ...

하지만 가령  S(P(0))은 무엇을 의미할까요. 우리가 마음속으로 부여한 의미에 의하면 0일겁니다. (0+1-1).

이렇게 되면 0 을 나타내는 방법이 하나보다 많게 됩니다. 0, S(P(0)), P(S(0)), ... 

자연스럽지 않네요