x-3 = 5일 때, x를 구하시오(1점)

 

 

 

답) 우선, x의 상세한 값을 가지기 전에, 이 문제의 해가 존재하고, 또 유일하다는 것을 우선 보이도록 합시다.

 

답이 존재하지도 않는 문제를 푸는 것도 질색이거니와, 열심히 답을 구했는데 그것이 유일한 답이라는 것을 확신할 수 없다면 그것만큼 골치아픈 일도 없죠.

 

제 전문분야는 이쪽이 아니기도 하고(전 해석학이 싫어요..), 또 워낙 잘 알려진 유명한 정리이니까, 네이버에서 슥슥 긁어오도록 하겠습니다.

 

이는 가우스가 증명한 ‘대수학의 기본정리’라는 것인데요, 모든 n차 방정식은 n개의 복소 근을 가진다는, 고등학교 수학만 배우셨더라도 어디선가 들어봤을만한 정리입니다.

 

[정리1.] 모든 다항식(다항함수)은 복소평면에서 적어도 하나의 0점(즉 해)을 갖는다.

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어떤 차수가 1이상인 다항식 P(z)가 복소평면에서 결코 0이 되지 않는다고 가정을 하자.

그렇다면, 1/P(z)는 모든 복소평면에서 미분가능하다.(holomorphic on entire plane 이라 하는데, 실제로 복소함수가 미분가능하다는 것과 Tayler 급수 전개 가능하다는 것이 동치입니다.) 왜냐하면, 분모가 0이 되지 않기 때문에...

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그렇다면, z가 무한대로 갈 때 1/P(z) 는 0으로 수렴한다 (이건 증명하지 않겠습니다. 여기서 중요한 것은 z값에 관계없이 수렴한다는 것입니다).

따라서, 어떤 양의 실수 R에 대하여, |z|>R 이기만 하면, |P(z)|<1 을 만족한다.

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물론, 1/P(z) 는 전구간에서 연속이고, 복소평면 전체에서 유계(bounded)한 미분가능함수이다.

따라서, Liouville(리우빌)의 정리에 의해서, 1/P(z) 은 상수함수가 된다. 그러므로,

P(z) 또한 상수가 되어 주어진 가정에 모순된다.//

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[정리2.] 대수학의 기본정리

 

정리1에 의하여 차수 n(1보다 크거나 같은 정수)인 다항식에서 하나의 근이 존재함을 보였다. 이 근을 z_1 이라고 하자. 그렇다면, P(z)/(z-z_1) 은 n-1 차 다항식이 될 것이다. 차수(n-1)가 역시 양수라면, 앞의 정리1 을 또 적용할 수 있다.

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따라서, 정리1을 n번 적용하면 정확히 n개의 근이 복소평면에 존재함을 알 수 있다.

(물론, 중복되는 것을 따로 센다는 가정하에서 그렇습니다.)//

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여기서, 정리1을 증명하는 가장 핵심적인 정리인 Liouville(리우빌)의 정리에 대해서 증명합니다.

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[증명3.] 리우빌 정리

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f(z) 가 복소평면 전체에서 미분가능하고, 어떤 적당한 양의 실수 M이 존재하여 부등식 |f(z)| ,

여기서 모든 복소수 z에 대하여 f'(z)=0 임을 보이면 충분하다. 임의의 실수 z_1을 선택하면, Cauchy's inequality(코오시의 부등식)에 의해서,

임의의 실수 r에 대하여 |f'(z_1)| ,

|f'(z_1)|=<0 이 됨을 알 수 있고, 따라서 f'(z_1)=0 이 된다. 여기서 z_1을 임의로 선택했으므로, 모든 z에 대하여 f'(z)=0 이 된다.

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그러므로, f(z)는 상수가 된다. //

 

 

그런데 문제로 주어진 방정식은 1차 방정식이므로, 복소수 상에서 단 1개의 근을 가집니다.

좀더 엄밀하게 하자면 x+c=0꼴이 되어야 합니다만, 위의 방정식이 x+c=0의 꼴로 정리될 수 있다는 것을 보일 예정이니 잠시 넘어가도록 합시다.

 

본격적인 증명에 앞서,

일단 'group'이라는 개념을 소개하고자 합니다.(한글로는 뭐라고 하는지 잘 모르겠네요..)

어떤 집합 G와, 연산 *가 있을 때,

(G,*)가 abelian(commutative) group이라는 것은, 정의에 의해 다음을 의미합니다.

 

(1) 어떤 e가 G 안에 존재하여, 임의의 원소 x에 대해 x*e=e*x=x를 만족하고 이때 e(종종 ‘1’, 혹은 ‘0’이라고 표현됩니다.)를 identity라고 한다.

(2) 임의의 원소 x에 대해 y*x = x*y = e를 만족하는 y(종종 x^-1, 혹은 -x라고 표현됩니다)가 존재하고, 이때 y를 x의 inverse라고 한다.

(3) 임의의 x,y,z에 대해 (x*y)*z = x*(y*z)를 만족한다.

(4) 임의의 x,y에 대해 x*y=y*x를 만족한다

 

처음 본다면 좀 난해해 보일 수 있지만, 하나하나 대입해 보면 우리가 알고 있는 웬만한 연산과 집합은 위의 조건을 만족합니다. group은 수학에서의 가장 기초적인 성질이며, 이정도 조건도 만족시키지 못한다면 수학적으로 다룰 가치(?)가 없다고도 말할 수 있습니다.

 

복소수 전체의 집합 C는 +라는 연산에 대해 abelian(commutative) group을 이룹니다.

(딱봐도 x는 정수일 것 같은데 굳이 복소수를 대상으로 하는 이유는, 위에서 보인 대수학의 기본정리가, 방정식이 복소수 안에서 해를 가진다고 했기 때문입니다.)

최대한 엄밀하게 증명하고 싶은 마음은 있지만 C가 abelian group을 이룬다는 것은 수학자들이 열심히 밝혀낸 부분이므로 좀 찝찝하더라도 그대로 쓰도록 합시다.

이때 identity는 0이고, inverse는 -x입니다. (저 정의에 대입해보시면, (C,+)가 abelian group이라는 것은 자명하게 느껴질 겁니다. 하지만 수학은 당연하게 느껴지는 사실일수록 증명하기가 어려운 아주 까다로운 특성을 가지고 있죠.)

 

이제 드디어 문제의 식, x-3 = 5를 대면할 준비가 되었습니다.

이제 양변에 3을 더하여 (x-3)+3=5+3을 만들고..... 여기서 잠깐!

 

이렇게 마구잡이로 양변에 3을 더하기 전에, 우리는 x-3 = 5와 (x-3)+3=5+3가 정확히 같은 의미라는 것을 확신해야 합니다.

즉, 3을 더한다는 행위가, 3이 더해지는 대상이 되는 수가 다를 경우 3이 더해진 후에도 두 값이 다르고, 같은 수 두 개에 3을 더해야만 3을 더한 후에도 같아진다는 것입니다. 즉, f가 임의의 복소수 x를 x+3으로 보내는 함수라고 했을 때, f가 일대일 함수여야 한다는 것입니다.

 

만약에 f가 일대일 함수가 아니라고 가정해봅시다. f가 well-defined function이므로, f가 one to one이라는 것은 f의 kernel(=f에 의해 0으로 사상되는 x들의 집합.) 이 trivial하지 않다, 즉 kernel 안에 여러 개의 원소가 들어 있다는 것을 뜻합니다.

(이 부분을 엄밀하게 증명하고 넘어가는 것 역시 제 실력을 벗어납니다 ㅜㅜ

정성적으로 설명드리자면, 일대일 함수가 아니라는 것은 여러개의 원소가 하나의 같은 값으로 뭉친다(?)는 것이니까, 0으로 가는 x값들도 여러개가 있다..라는 겁니다.)

여기서 보조정리 하나를 가져오도록 하겠습니다.

claim) 임의의 group의 임의의 원소 x에 대해, x의 inverse는 유일하다

proof) x의 inverse가 여러 개라고 가정하자, 즉, x*y=y*x=e, x*z=z*x=e

이때 (z*x)*y=z*(x*y)이고, (group의 정의 (3)에 의해) z*x=e, x*y=e이므로

e*y=y=z*e=z가 되어, y와 z는 같다. 즉 inverse는 유일하다.

자 그럼 f의 kernel의 원소, 즉 x+3=0이 되는 서로 다른 원소가 여러개 있다면 어떨까요?

x+3=3+x=0, y+3=3+y=0,(group의 정의 (4)에 의해, 순서를 바꿀 수 있습니다.) 즉 x와 y는 둘다 3의 inverse입니다. 그런데 claim에 의해 3의 inverse는 유일하므로 x와 y는 같아야 합니다.

따라서 모순이 발생하고 ,f는 일대일 함수입니다.

 

그러므로 x-3 = 5와 (x-3)+3=5+3가 정확히 같은 의미라는 것을 알았습니다.

 

일단 좌변부터 살펴봅시다. group의 정의 (3)에 의해, (x-3)+3 = x+(-3+3)

-3은 3의 inverse이므로, -3+3=3+(-3)=e(identity)가 됩니다. 이 경우 e=0이죠.

그리고 identity의 성질에 의해 x+(-3+3)=x+e=x가 됩니다.

 

우변의 경우 상당히 난감합니다. 5+3이라니! 이것을 어떻게 계산해야만 할까요?

다행히도 5와 3은 둘다 자연수이고, 자연수 간의 덧셈은 공리에 의해 비교적 간단히 계산할 수가 있습니다.

공리의 정확한 statement는 제대로 기억하지 못합니다만, 덧셈의 공리에 의해 자연수의 ‘+1’이 정의됩니다. 즉,

1+1=2, 2+1=3, 3+1=4, 4+1=5, 5+1=6, 6+1=7, 7+1=8, ...

이런 식입니다. 이는 무한히 반복되나 8까지만 있어도 충분할 것 같습니다.

따라서 5+3은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

5+3 = 5+(2+1) = 5+((1+1)+1)

여기서 group의 정의 (3)을 이용하여 괄호의 위치를 바꿉니다. 즉,

5+((1+1)+1) = 5+(1+(1+1))=(5+1)+(1+1)=6+(1+1)=(6+1)+1=7+1=8

 

그러므로 두 결과를 합치면 x=8, x=8입니다!

축하하십시오! 당신은 x-3=5라는 일차 방정식을 풀 수 있게 되었습니다!

길거리에 나가서 사람들에게 외치십시오! “나는 x-3=5의 답을 알고 있다!!”

그리고 이 방법을 응용한다면, 당신은 x+5=10, x-2=8과 같은 많은 난해한 문제들 역시 다룰 수 있게 되었습니다.

자신을 자랑스러워하셔도 좋습니다. 환호하십시오! 당신은 x-3=5를 알고 있습니다!

선생님 앞에 나아가 당당히 말하셔도 좋습니다. "선생님, 전 이 유치원에서 더이상 배울게 없습니다. 초등학교로 가게 해 주십시오!"

이 증명을 보고...

1. 뭐야 이 미친놈은.. 할짓이 그렇게 없나 -> 문과

2. 이걸 증명해서 어딘과 써먹을 데가 있나? -> 물리과, 생명과

3. ㅉ..쩐다! -> 수학과

여러분 수학과로 오세요 특히 여학생분들 ㅜㅜ 수학과는 꿈과 희망이 가득한 곳입니다.

후.. 근데 난 왜 이런 꿀같은 주말에 이런 거나 끄적거리면서 시간을 낭비하고 있을까요 ㅋㅋㅋ;;