안녕하세요? 계속 눈팅은 해오다가 과게에는 처음으로 글을 써보네요.

얼마전에 한 고등학생분이 Brocard’s problem 을 증명한줄알고 게시판에 올리셨더군요. 이구이구 ㅎㅎ 보면서 얼마나 흐믓하고 귀엽던지 ㅋㅋㅋㅋ 고등학생분이 벌써부터 순수수학에 관심이 있어하는 모습을 보고 많이 놀랐어요!

한때 수학자를 꿈꿨던 저로써, 좋은 수학자가 되기위해 대학을 준비하는 우리 똘망똘망한 꼬꼬마들 고등학생들이나 현 수학과 대학생들을 위해 몇마디 적어보고 싶어요.

일단! 가장먼저 진짜 순수수학은 고등학교때 배운것들하고는 많이 달라요. 지겹게 푸는 미분, 적분, 계산문제들… 얼마나 빨리 계산하는지, 얼마나 많은 문제유형을 외우고있는지 등등 이런 ”계산” 적인것들은 나중에 수학에서는 별로 중요하지 않답니다.

진짜 수학은... 흠 짧게 설명하려하니 좀 어렵군요. 일단… 수학은 질문으로 부터 시작합니다. 그리고 논리적인 추론으로 조금씩 그 질문을 파헤쳐 나갑니다.

예를 들어 10cm 의 선(AB)가 있다고 해봅시다.

여기서 점(point) 하나를 뺀다고 해도 점은 길이가 없기 때문에 이 선의 길이는 아직 10cm 이겠지요? 하지만 점을 계속 계속 빼봅시다.

얼마만큼 빼면은 길이가 더이상 10cm 가 아니게 될까요? 과연 무한정으로 점을 지웠을때  10cm 가 유지될수 있을까요?

이런 질문들로 인해 Measure 이라는 정의가 필요하게 되었고 Jordan Measure 이라든지 유명한 Lebesgue Measure 들이 나타납니다. 이 정의를 기반으로 기본 적분을 Lebesgue integration 으로 개념을 넓히게 되고 그에 따른 많은 theorem 들이 나오게 되죠.

또 다른 문제로는 Congruent Number Problem 이라는 유명하고 아주 오래된 미해결 문제가 있는데요. 무엇이냐면 어떤 숫자가 주어졌을때 그숫자가 유리수로 이루어진 변의 길이를 가진 직각 삼각형의 넓이인가? 아니인가? 하는 문제랍니다.

예를들면 5 는 congruent number 입니다 왜냐하면 변이 유리수인 41/6, 3/2, 20/3 인 직각삼각형의 면적이 5 이기 때문이지요. 마찬가지로 6 도 congruent number 입니다. 그러면 10은 congruent number 일까요? 답은 아니다 에요. 하지만 어떻게 알아차렸을까요?? 어떤 알고리듬익한 방법이 혹시 있을까요? 많은 수학자들이 이문제를 풀어볼려고 했지만 안타깝게도 실패했답니다... 하지만 흥미롭게도 이문제는 어떤 특별한 elliptic curve 와 연관이 있다는것을 Tunnell 이 알아차립니다. 그리고 elliptic curve 가 한창 매인스트림인 수학커뮤니티의 도움으로 문제는 거의 풀리게 되죠.

Elliptic Curve 는 실제 암호 프로그렘에 많이 사용됩니다. 많이 사용하시는 구글도 기본적으로 ECDHE_RSA, Elliptic Curve Diffie-Hellman, 이라는 키 익스체인지 알고리듬을 사용하지요.

자 좋은 수학자가 되기위해서 간략하게 몇가지 준비할것들을 알려드릴게요. 일단 이과라고 해서 영어를 안하면 안됩니다!! 수학자 뿐만 아닌 교수, 연구직을 생각하는 모든분들은 영어를 정말 잘해야합니다. 일단 많은 좋은 교과서, 저너가 영어로 되어있고 나중에 논문을 무조건 영어로 써야합니다. 학회나 나중에 자기 연구를 발표할려고 외국에 나가거나할때도 영어를 당연히 써야하지요.

지금부터 당장 영어로 수학을 공부합시다!

학부때 수학은 커다랗게 algebra, analysis, topology 이렇게 나뉩니다. (이런 영단어들 미리미리 익혀두세요.) 머 제가 좋아하는 number theory 나 다른 분야들도 있지만 많이 다루지 않는듯 하더군요. 이것들이 엮이고 엮어서 대학원 후반에 배우는 Algebraic number theory, Algebraic topology, Algebraic geometry, 등등 세부화가 됩니다. (Algebra 가 많이 보이는건 기분일 겁니다 헤헤)

혼자서 읽을만한 이해 하기 쉬운 책을 골라서 주제별로 추천 드릴게요

Algebra

1. (쉬움) Charles C. Pinter, A Book of Abstract Algebra 

정말 이야기식으로 재미있게 쓰여진 책입니다. 꼭 읽어 보기를 추천해요

2. (중간) I. N. Herstein, Abstract Algebra

유명한 책입니다. 학부생들이 한번쯤은 공부해볼 책이죠. 문제들이 여렵고 흥미로운것들이 많아서 꼭 한번쯤 도전해보시길 바랍니다.

Analysis:

1. (쉬운거 없음 바로 중간) Apostol, Mathematical Analysis

아쉽게도 analysis 는 딱히 읽기쉽고 쉬운책들을 못 접해봤어요... 그나마 이책이 설명도 길고 좀더 친절하게 설명해 주더군요.

2. (중상) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis

정말로 유명한 Rudin 입니다! 진짜 증명이 친절하지 않기로 소문나있죠... 틈만 나면 The proof is trivial (대략 뜻은: 이 증명은 너무 쉬워서 안적는다) 를 난발하고 ㅋㅋㅋ 증명들이 죄다 정말 기발하고 천재적이라 한번 배우고 다시 보면은 감탄사를 유발하지만 그게 아니라면은 좌절하게 되는 책입니다.

Topology

솔직히 제가 Topology 는 관심이 별로 없었습니다... 그래서 책을 많이 안읽었어요. 그나마 생각나는것은...

1. (쉬움?중간?) Bert Mendelson, Introduction to Topology

아 분명 Mendelson거 말구 쉬운거가 있었는데 기억이 안나네요;;; 이책도 상당히 유명할 거예요. 집합부터 시작하여 우리한테 좀더 친숙한 Metric Space 그리고 Topological Spaces 까지 차근차근 설명해줍니다. 좀더 총괄적이고 유명한 책이 (Munkres) 있지만 혼자서 읽기는 조금 버거운거 같아서 이책을 적습니다.

Number Theory

1. (쉬움) William Stein, Elementary Number Theory: Primes, Congruences, and Secrets

제추천서를 써준 교수님이 쓴거라 넣어봅니다;; 냉정하게 말하면 가장 좋은 책은 아니지만 기본적인 학부 정수론에 관한 주제는 다들어가 있어요. 솔직히 말하면 저 학부때 이것저것 보고 공부하느라 머가 가장 좋은거였는지 기억이 안납니다 ㅜㅠ 이책에 특이한점은 이분이 Sage 라는 수학 프로그렘들 만드셨는데 문제들이나 예제에서 직접 Sage 컴맨드를 사용해서 설명해 줍니다. Computational Number theory 에 관심있으신 분은 추천드려요. 이분이 그분야에서는 거의 독자적이라 하더라구요.

2. (쉬움) Avner Ash and Robert Gross, Elliptic Tales

제가 Elliptic Curve 라는 아름다운 mathematical object에 흥미를 느끼게 해준 책입니다. 이책은 일반인들도 읽을수 있을정도(?) 로 이야기 형태로 쉽게쉽게 elliptic curve 와 그와관련된 개념들을 설명해줘요. 끝부분에 가면은 아직 풀리지 않은 문제들도 제시해줍니다. 완전 추천!

3. (중간?어려움?) Joseph H. Silverman and John Tate, Rational Points on Elliptic Curves

아! 제가 정말 좋아했던 책입니다. 제가 관심있던 부분이 딱 이부분이였는데 학부수준에 맞춰서 증명을 해주셨더라구요. 나중에 대학원 수준의 Algebra 를 배우신 분이라면 같은 저자가 쓴 The Arithmetic of Elliptic Curves 를 읽어보는거 추천합니다. 분명 같은 theorem 이지만 대학원 수준의 Algebra를 쓰면 증명이 엄청 간략해지는것을 느끼실수 있으실 겁니다 ㅋㅋㅋ

4. (어려움) Neal Koblitz, Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms

이책은 정말 어려웠던 책이었어요. 저는 딱 첫번째 쳅터만 읽었습니다. 제 학부때 패이퍼가 Congruent Number 와 Elliptic curve 의 관계를 찾는거였거든요. Neal Koblitz 교수님이 저희 학교에 있어서 한번 이야기를 나눌 기회가 있었는데 배트남전쟁에 참여했거라던지 정부의 음모등등 의미심장한 얘기를 해주신 기억이 나는군요.