안녕하세요, 힘센과자입니다. 예전 기억을 떠올려 가볍게 짧은 글 하나 적어보려 합니다. 오늘의 주제는 알라딘과 요술램프 입니다. 사실은 알라딘이 이슬람의 대표적인 수학자였습니다. 물론 농담이구요, 글의 이야기는 알라딘 이야기를 읽고있던 도중, 문득 떠오른 당신의 생각으로부터 출발합니다. '램프의 요정 지니?!? 소원을 3가지 들어준다?? -ㅅ- 첫번째 소원은... 왕자가 되게해달라? 두번째 소원은 물 속에서 구해달라?? 세번째 소원은 뭐?? 지니를 자유롭해 해달라??????? 어이가 없어서 -_-a 소원을 100가지로 늘려달라를 다시 소원으로 하면 될 거 아니야? 그 100번째 소원은 또 소원을 100가지로 늘리기, ... 아니면 소원을 무한히 많이 들어달라로 하든가 뭐... 알라딘 ㅄ' 염두해야할 것은, 아라비안 나이트는 여러분이 생각하시는 것 만큼 간단한 동화가 아니라는 것입니다-_-;;;ㅋ 과연 이 이야기의 저자가 저런 허접한 생각을 하나 못했을까요? 물론 못했을 수도 있지만, 우리는 여기서 과연 저러한 '소원'이 지니에게 먹힐까 하는 생각을 할 수 있습니다. 아니 지니는 아무 소원(뭐 사랑에 빠지게 해달라 어쩌고는 빼고)이나 3개 들어준다며? 그럼 당연히 먹히는거 아닌가? 이제야 문제점이 보이십니까? '소원 100개로 늘려달라'라는게 과연 '소원'인가? 라는 물음을 던지게 됩니다. 따라서 우리는 지니가 가지고 있는 소원체계, 즉 소위 '소원론'의 구성을 생각치 않을 수 없습니다. 이 소원론 또한 당연히 어떤 공리(axiom)들 위에 세워진 체계일텐데, 그 공리가 무엇이든 간에 우리는 아래의 정리를 생각할 수 있습니다. <소원론의 기본정리> 우리가 일반적으로 바라는 건 소원론의 '소원'이 아닐 수 있다. [증명] 우리가 바라는게 모두 소원이라고 가정하자. 이 때, "모든 나의 소원이 이루지지 않게 해주세요"라는 명제를 생각하자. 이 명제는 우리가 바라는 것이므로, 가정에 의해 소원이다. 따라서 지니는 이 소원을 들어주어야 한다. 하지만 소원은 이루어지지 않아야 하므로 모순이다.■ 이것은 마치 모든것을 집합으로 여기는 집합론은 그 속에 반드시 모순을 내포한다는 러셀의 역설을 베낀 것입니다. 따라서 지니는 근본적으로 모든 소원(?)을 들어줄 수 없습니다. 알라딘의 100가지 소원 또한 그러한 이유로 '소원'이 아닐 수 있고,,, 물론 소원일 수도 있지만;;; 아래의 숨겨졌던 아라비안 나이트 666페이지 번외편과 함께 이 글을 어설프게 마무리 짓겠습니다. 지니 : 소원 3개를 들어주도록 하지! 난 너의 지니야! 소원을 말해봐!! 알라딘 : ...? 우선, 소원들은 어떤 공리 위에 있어야하나요? Zermelo? Neumann? 아니면 기타? 지니 : 지금 첫번째 소원을 빈건가? 하지만 그게 당신의 소원인지 우선 증명을 해야해... 알라딘 : 공리계를 알아야 증명을 하죠... 공리계를 우선 알려주세요! 지니 : 으휴, 소원을 들어주고 싶긴 한데 그게 소원인지 알수가 있어야지! 증명을 해야 내가 소원을 들어줄 거 아니야 증명 하는것이 내몫인가? 소원 빌고싶은 니몫이지!! 알라딘 : 그러면 아까 그 말이 소원이라는 걸 증명하는걸 제 소원으로 하지요...-_- 지니 : 흠... 네 방금 그 말은 소원이 맞는거야? 아니, 뭐 방금껀 소원 맞다 치고 증명을 하려고 하더라도, 우선 참인지 거짓인지도 모르는데 나더러 어떻게 증명을 하라는거야? 이거 거짓인데 반례가 Axiom of Choice 같은 걸 써야 하는 거면 어쩌지? ㅠㅠ 이상의 대화에서 알라딘은 어떠한 소원 공리계도 equivalent 하다는 것을 증명할 필요를 느꼈으나... 쓰고보니 별로 재미가 없는듯...ㅠㅠ 읽어주셔서 감사합니다 ㅋㅋㅋ