우선 이 실험을 먼저 하기 전에 우리가 알아야 할 것은 '빛의 속도는 어느 계에서 관측하던지 c로 언제나 일정하다' 입니다.
기본적인 실험 구성은 이렇습니다.
정지운동이 아닌 u의 속도로 등속운동을 하는 A계 안에 위와 같은 실험장치를 설치합니다. 그리고 A계의 바깥을 B계라고 둡니다.
우리는 일단 먼저 A계 안에서 실험 결과를 관찰할 겁니다.
예를 들면 등속운동으로 달리는 자동차 안에서 실험 결과를 측정한다는 뜻이죠.
자, 저 그림대로 저 길이는 모두 같습니다. 그럼 이 상태로 광원에서 빛을 쏴주죠.
그럼 모두가 알다시피 경로 a와 경로 b는 동시에 도착합니다. 왜냐구요? 경로 a와 경로 b의 길이가 같고 속도도 c로 같기 때문이죠!
이제 A계에서 관찰하는건 이게 끝입니다. 뭔가 허무하다구요?
그럼 B계에서 위의 실험 결과를 관찰해보죠?
뭔가 그림이 복잡한데 검은색은 처음의 위치, 초록색은 밖에서 u의 속도로 이동하는 A계에 대한 위치입니다. (말이 뭔가 조금 이상한데... 대충 알아들으셨을 것이라고 믿습니다. 제가 설명하는 능력이 조금 딸려서...)
자, 여기서 A계에서 관찰했을때 저 두 경로의 빛이 동시에 들어왔죠? 그럼 당연히 B계에서도 그렇게 관찰 되어야 겠죠?
그럼 한번 계산해 봅시다.
우선 초록색 선 경로 (경로b)를 보죠. 우왕, 빛이 쏘아지고 c로 앞으로 나아가는데 요게 u의 속도로 달아나네요?
(여기서 잠깐! 빛의 속도는 c+u가 될 수 없습니다. 아인슈타인에 의하면 c를 넘을 수 없으므로)
그럼 우리는 여기서 빛이 맨 끝 거울판까지 이동하는 것에 대해 이 공식을 세울 수 있습니다.
cT=L+uT (여기서 T는 거울판 까지 가는 시간)
T로 정리하면 T=L/(c-u)
그리고 갔으면 돌아 와야죠? 그런데 돌아오는데 은도금을 한 유리판이 u의 속도로 달려 오네요? 그럼 여기서 이 공식을 세울 수 있죠.
ct=L-ut (여기서 t는 빛이 은도금을 한 유리판에 돌아오는 시간)
t=L/(c+u)
그럼 왕복하는데 걸리는 시간을 구해야겠죠?
T+t=[L/(c-u)]+[L/(c+u)]
이 식을 정리하면
T+t = 2Lc/(c^2-u^2)
이 식을 보면 B계에서 실험 결과를 관찰하면 빛이 경로 b를 따라 이동하는 시간은 2Lc/(c^2-u^2)로 밝혀졌습니다.
그럼 경로 a를 한번 계산해볼까요?
여기서 경로 a는 피타고라스 법칙으로 구할 수 있습니다.
(cs)^2 = L^2 + (us)^2 (여기서 s는 은도금을 한 유리판에 반사되어 위의 거울까지 도달할때 까지 걸리는 시간)
그럼 이 식을 s로 정리하면
s=L/(c^2-u^2)^(1/2) 가 되죠.
그리고 왕복하는 시간은 여기다가 2를 곱해주면 되므로
2s=2L/(c^2-u^2)^(1/2)
그런데 A계에서 관찰했을때 경로 a와 경로 b를 왕복하는 시간은 서로 같아야 합니다.
그런데 보면
경로 a = 2L/(c^2-u^2)^(1/2)
경로 b = 2Lc/(c^2-u^2)
...? 값이 같지 않습니다. 이게 어떻게 된 일일까요?
설마 A계에서 관찰하는 결과와 B계에서 관찰하는 결과가 서로 다른 것인걸까요?
흐음... 제가 생각하기에는 그럴거 같지 않군요.
그런데 여기서 c의 값은 언제나 같아야 하고
그렇다고 u의 속도로 움직이는 A계가 B계에서 볼때 u가 아닌 다른 속도로 움직일 리도 없으니 남은건 L이네요!
그리고 두 값을 같게 해주기 위해 속도에 대한 길이의 변화율 K를 넣어 값을 구해주면
(2L/c)/([-(u/c)^2]^(1/2)=K(2L/c)/[1-(u/c)^2]
K=[1-(u/c)^2]^(1/2)
가 나오네요.
그렇다면 경로a길이=경로b*K
가 되어서 물체가 속도 u로 움직일때 길이는 [1-(u/c)^2]^(1/2) 만큼 줄어든다! 라는 결론이 나옵니다!
결론
L=l*[1-(u/c)^2]^(1/2) <L=변하는 길이, l=처음 길이>
... 내가 지금 무슨 소리를 하는건지... ㅠㅜ
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