무한급수, 수열, 등 극한에 대하여 간략하게 논해보고 싶네요

일단 어떤 수열이 '수렴'한다는 정의는 다음과 같습니다.

1. 수열 a_n이 있을 때, a_n이 L이라는 값으로 수렴한다는 것은

< 임의의 양수 epsilon에 대하여 적당한 N이 존재해서, n>N이면 |a_n - L| < epsilon이다. >

입니다. 다시말해, N이 충분히 커지면 L에서 적당한 반경 안에 값이 다 들어간다는 것이죠

2. 함수 f(x)가 있을 때, x가 x_0로 갈 때 f(x)가 L이라는 값으로 수렴한다는 것은

< 임의의 양수 epsilon에 대하여 적당한 양수 delta가 존재해서, |x-x_0|<delta 이면 |f(x) - L| < epsilon이다. >

입니다. 다시말해, delta값이 충분히 작다면 L에서 적당한 반경 안에 값이 다 들어간다는 것이죠

3. 수열 a_n의 급수가 L로 수렴한다는 것은

< a_n의 1번째 항부터 m번째 항까지의 부분합을 S_m이라고 쓸 때, S_m이 L로 수렴한다 >

입니다. 수열의 극한을 다시 가져오죠.

이러한 정의를 생각해보면 되는데요

그럼 최근에 올라온 몇가지 논쟁점들을 짚어보겠습니다.

1. 0.9999... = 1 ?

이에 대해서 제가 계속 달았던 댓글은 0.9999....는 '수'가 아니다 였습니다.

그렇게 말한 이유는 0.9999....가 '급수'의 다른 표현이라는 것이었는데요. a_n = 9*(0.1)^n 이라고 정의된 수열의 급수를 표현한 것이고, 이 값이 1로 '수렴'하기에 저기있는 '='가 성립하는 것이란 의미였습니다. 다시말해, lim S_n = L이라고 할 때 lim S_n의 본래 의미는 수열의 극한을 의미하는 것이고 '='라는 '수렴'의 의미를 통해 '수'가 되는 것이라 생각합니다. 뭐 이는 말의 차이이기 때문에 비슷하지만 다르게 이야기를 할 수 도 있겠지요.

하지만 처음 받아들일 때 0.9999....가 '수'라면 왜 1이라는 표현이 아니고 다른 표현을 가지는가 하는 의문이 생길수도 있고, 0.9999....는 점점 1에 가까워지는 것이지 아무리 생각해도 1보다 작은거 같은데..라는 생각을 할 수 도 있기 때문에 저렇게 표현을 한 것이었습니다.

2. 1+1-1+... 등에 대해

제가 이에 대해서는 이미 글을 한 번 쓴적이 있습니다. (ref. http://todayhumor.com/?science_29568)

여기서 주요 논쟁점이었던 부분은 '해석적 확장' 즉, analytic continuation이었는데요, 이 부분에 대해 다뤄보고 싶네요. 우선 정의를 끌어와 보겠습니다.

복소평면 C에서 f가 열린 부분집합 U에서 정의된 정칙함수라 하자. 만약 V가 C에서의 U를 포함하는 더 큰 열린 부분집합이고, F가 V에서 정의된 정칙함수이며 다음을 만족하면,

$\displaystyle F(z) = f(z) \qquad \forall z \in U$

F는 f에 대한 해석적 연속이라 한다. 다른 한편으로, F의 U로의 제한이 f가 된다.

(ref. http://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%95%B4%EC%84%9D%EC%A0%81_%EC%97%B0%EC%86%8D)

즉 다시말해 analytic continuation을 통해서 얻은 값은 원래 함수의 값이라기보다는 새로운 함수의 값입니다. 예를 들어 보겠습니다.

이전의 글에서도 들었던 예시이지만, 초항이 1이고 공비가 r인 무한등비급수의 값을 S(r)이라고 정의하겠습니다. 그러면 고등학교 수학에서도 배우지만, |r|<1일 때만 무한등비급수가 수렴하기에 값을 가지게 되고 이 때 함수값이 1/(1-r)이 되죠.

그렇지만 여기서 얻은 값, 1/(1-r)은 r이 1이 아니기만 하면 잘 정의되는 함수입니다. 위의 정의로 되돌아가면 우리 S(r)이 f에 해당하고 1/(1-r)이 F에 해당하는 것이죠.

analytic continuation은 새로이 얻어진 함수이기에, ' S(2)=1/(1-2)=-1 이다 ' 라는 말은 기본적으로 틀린 문장입니다. S(r)이 r=2에서 -1이라는 함수값을 가지는 것이 아니고, 'S(r)의 analytic continuation'이 r=2에서 -1이라는 함수값을 가지는 것입니다.

그렇기 때문에 얼마전 과학게시판에서 흥미로운 영상이었던 http://todayhumor.com/?science_29517 의 영상은 완전 허구라는 것이죠. 일단 기본적으로 '='기호를 써서 썼던 등식들이 다 문제가 있었을 뿐 아니라(수렴성에서), 그 뒤에 쓰였던 식간의 합과 차를 이용하는 부분에서도(ref. http://todayhumor.com/?science_29568) 문제가 많았습니다.

이번에도 좀 횡설수설한것 같긴 한데 질문하거나 토론하실 사항 있으면 댓글달아주세요 환영입니다^^