[수학주의] 타원의 회전체를 칼로 자르면 타원이 나옴을 증명하자.

타원을 어떤 대칭축에 대해 회전시킨 도형을 '타원체'라고 부르며

위와 같은 예쁜 달걀 모양을 이룹니다. (지구와 같은 행성도 사실은 완벽한 구가 아닌 자전에 의해 타원체를 이루게 됩니다. 비록 변이되는 정도가 엄청 작지만요)

이런 타원체를 수학적으로 표현을 하면 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 이라는 아주 아름다운 식으로 표현된답니다.

그럼 이 타원체를 칼로 싹둑 자르면 어떻게 될까요?

특별히 타원의 중심을 지나고 x 축을 포함하는 평면에 대해서 잘라보겠습니다.

그럼 자르는 평면을 임의로 $z=ky$ 라고 하겠습니다.

우선 $z=ky$ 를 타원체 방정식에 대입하면

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{k^2y^2}{c^2}=1$ 이 성립합니다.

따라서 $\frac{x^2}{a^2}+(\frac{1}{b^2}+\frac{k^2}{c^2})y^2=1$ 이므로 x=a*cos(t) 로 매개화를 시키겠습니다.

그럼 곡선 C의 매개변수 방정식은

$x=a\mathrm{cos}t, y=\frac{bc}{\sqrt{c^2+b^2k^2}}\mathrm{sin}t$ 가 되며 $z=ky$ 이므로

$(x,y,z)=(a\mathrm{cos}t, \frac{bc}{\sqrt{c^2+b^2k^2}}\mathrm{sin}t, \frac{bck}{\sqrt{c^2+b^2k^2}}\mathrm{sin}t)$ 를 만족합니다.

이제 이 곡선 C 가 타원의 방정식임을 보이면 끝입니다.

타원의 방정식은 흔히 $\frac{x^2}{p^2}+\frac{y^2}{q^2}=1$ 꼴로 표현되는 것이 일반적입니다.

하지만

위의 그림에서 알 수 있듯이 곡선 C는 좌표축에 대해 비스듬히 세워져있기 때문에 관측하기가 어렵습니다.

그래서 곡선 C를 좌표축에 대해 똑바로 세우는 작업을 시행하려 합니다.

타원체의 모습을 x축이 안보이는 각도에서 관찰을 하면 위와 같기 때문에

곡선 C를 x축에 대해 각도 w 만큼 회전시키도록 하겠습니다.

(w는 곡선 C를 포함하는 평면이 z축을 포함하고 y축에 수직이 되도록 하는 각도입니다.)

$\mathrm{tan}w=\frac{1}{k}$ 이기 때문에 $\mathrm{sin}w=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}$ , $\mathrm{cos}w=\frac{k}{\sqrt{k^2+1}}$ 를 만족합니다.

따라서 회전변환과 관련된 행령 공식에 따라 대입을 해주면

$(x,y,z)=(a\mathrm{cos}t, \frac{bc}{\sqrt{c^2+b^2k^2}}\mathrm{sin}t, \frac{bck}{\sqrt{c^2+b^2k^2}}\mathrm{sin}t)$ 점을 x축에 대해 w 만큼 평행이동시킨 점의 좌표는

$\math\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0&\mathrm{\frac{k}{\sqrt{k^2+1}}}&-\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}\\ 0&\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}&\frac{k}{\sqrt{k^2+1}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\mathrm{cos}t\\ \frac{bc}{\sqrt{c^2+b^2k^2}}\mathrm{sin}t \\ \frac{bck}{\sqrt{c^2+b^2k^2}}\mathrm{sin}t \end{pmatrix}$ 가 되어 계산을 하면

$\begin{pmatrix} a\mathrm{cos}t\\ 0 \\ \frac{bc+bck^2}{\sqrt{c^2+b^2k^2}\sqrt{k^2+1}}\mathrm{sin}t \end{pmatrix}$ 가 됩니다.

즉 정리를 하면

$(x',y',z')=(a\mathrm{cos}t,0,bc\frac{\sqrt{k^2+1}}{\sqrt{c^2+b^2k^2}}\mathrm{sin}t)$ 가 됩니다.

따라서 위의 곡선을 C' 라고 할 때 C' 는

x=pcost, z=qsint 꼴 을 만족하므로 C' 는 항상 타원의 방정식임을 알 수 있습니다.

그럼 타원 C가 완벽한 원이 되기 위한 k의 조건은 무엇일까요?

그러기 위해서는 $\frac{x^2}{p^2}+\frac{y^2}{q^2}=1$ 에서 p=q 여야 하므로

$a=bc\frac{\sqrt{k^2+1}}{\sqrt{c^2+b^2k^2}}$ 여야 합니다.

위 방정식을 k에 대해서 게산하면

$k=\frac{c}{b}\sqrt{\frac{b^2-a^2}{a^2-c^2}}$ 임을 알 수 있습니다.

(물론 b>a>c>0 이라는 조건을 달아야겠죠. 그래야 x축의 고정된 길이를 두고 z축 방향의 길이가 점점 증가하면서 x축 길이와 같아질 수 있으니까요)