불가능하다는 건 증명할 수 있는데..가능한건 어떻게 증명해야 할까요?

영재교육원 초등학생 가르치는 중인데..

문제 중에 1~n까지의 숫자 카드를 2개씩 갖고,

1과 1사이에는 1개의 수를 넣고, 2와 2사이에는 2개의 수를 넣는 방식으로, n과 n 사이에는 n개의 수를 넣는 행동을 취하려고 한다

ex:) 231213 (n=3일 때 가능)

각 칸은 oxoxoxox... 이런식으로 나누면 (o는 홀수칸 x는 짝수칸)

이게 짝수 (2,4,6...) 의 경우 항상 (홀,짝)칸을 먹거나 (짝,홀)칸을 먹는 것으로 짝,홀칸 각 1칸씩을 차지하는데,

홀수 (1,3,5...)의 경우에는 (홀,홀)칸 이나 (짝,짝)칸 을 먹기 때문에

(그림 참조)

n=이 5일 경우에는 2,4가 홀짝칸을 둘다 똑같이 먹고, 1,3이 (홀홀, 짝짝)으로 똑같이 먹으면 남은 칸은 홀,짞 칸인데

5는 홀수라서 (홀,홀)을 먹거나 (짝,짝)을 먹기 때문에 n=5인 경우에는 불가능 하다 라고 증명 할 수 있는데요

여기까지 아이에게 설명해 줬는데

그럼 안되는 거 빼고는 전부 되는 거에요?? 라고 물어봤는데 거기서 막혀 버리더군요

이게 홀 짝 설명만으로는 가능/불가능 여부를 정확하게 가를 수 없는 것 같은데

이 문제의 경우 n이 어쩔 때 되고 안되는지 명확하게 증명할 방법이 있을까요??