원순열 관련글을 읽고 제가 아는 노하우를 공유하고자 글을 씁니다.
우선 정다면체에 숫자를 쓰거나 색을 칠하는 문제를 좀더 쉽게 푸는 방법인데요.
다음의 정육면체를 가지고 설명드리겠습니다.
먼저 다면체가 고정이 되어있다고 생각했을 때 서로다른 가지수가 6!=720가지가 나옵니다.
이중 중복되는 것을 하나로 처리하자고 했을 때 중복이 되는 가지수를 계산하는 방법인데
이는 도형의 애매한 부분에 점을 하나 찍어 도형을 굴렸을 때 그 점이 갈수 있는 위치의 개수를 세는 것입니다.
다음의 네가지 경우는 다면체가 고정되어 있을 경우 서로 다른 것이지만 자유로운 회전이 가능하다고 할 때 같은 경우가 되는 것이지요.
즉 비대칭점이 갈수 있는 위치의 개수를 세어보면 24가지가 되고
이 24가지는 한가지 경우로 보자는 측면에서 6!*(1/24)=30가지가 나오게 되는 것입니다.
정사면체의 경우 4!*(1/12)(한 면에 3개씩 4개의 면),
정팔면체의 경우 8!*(1/24)(한 면에 3개씩 8개의 면),
나아가 정십이면체의 경우 12!*(1/60)(한 면에 5개씩 12개의 면),
정이십면체의 경우 20!*(1/60)(한 면에 3개씩 20개의 면)으로 계산이 가능합니다.
정팔면체를 많이 어려워하시는 분들이 많은데 도움이 되었으면 하네요.
이를 응용하면 다음과 같은 문제도 생각해볼 수 있습니다.
축구공은 12개의 정5각면과 20개의 정6각면으로 이루어져 있다. 이 축구공에 1부터 32까지의 숫자를 쓰는 경우의 수를 구하여라.
정말 어렵습니다만 위와같은 과정을 적용할 경우 정5각면에 점을 하나 찍어
자유롭게 회전하여 갈수 있는 점의 위치는 정5각면마다 5개 면이 12개이므로 60이 됩니다.
따라서 정답은 32!*(1/60)이 되는 거죠.
그리고 점을 정6각면에 찍었다고 했을 때 실수를 많이 하게 되는데
이때는 정6각면마다 6개 면의 개수 20개여서 120이 되는 것이 아니라 정6각면마다 3개 면의개수 20개가 되어
회전하여 같은 경우가 60가지로 동일하게 나오는 겁니다.
정6각면을 기준으로 회전을 할 경우 60도를 회전하게 되면 처음의 축구공 모양과 다르게 나오는 것을 확인하시면 됩니다.
정6각면 주위에는 정6각면 3개와 정5각면 3개가 붙어있기 때문입니다.
다면체에 숫자를 쓰거나 색을 칠하는 경우의 수 구하는 문제에 도움이 되고자 글을 남겨봅니다. 많은 도움이 되셨기를^^*
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