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2015-03-27 15:27:33
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(위 댓글에 이어서 계속)
그냥 쉽게쉽게 따져서, 개구리가 처음 위치 기준으로 1칸이라도 왼쪽에 존재할 확률을 계산해봅시다. 그러니까 솩 님은 시행 횟수가 무한으로 발산할 때 p = 1/3 이면 이 확률의 합이 1로 수렴하지 않는다고 말하고 싶으신거죠?
우선, 시행 횟수가 1일 때는 당연히 확률은 2/3 이겠죠.
시행 횟수가 2일 때는 오른쪽으로 1회라도 움직여서는 안되니 (2/3)^2 이겠고요.
계속 계산해봅시다.
3회
(2/3)^3
4회
(2/3)^4 + [(2/3)^3 * (1/3) * 4C1]
n회
(2/3)^n + [(2/3)^(n-1) * (1/3) * nC1] + [(2/3)^(n-2) * (1/3)^2 * nC2] + ... + [(2/3)^(n-m) * (1/3)^m * nCm] = Σ[(2/3)^(n-k) * (1/3)^k * nC(k-1)],k=1~m
단, m은 3m<n인 최대 정수
여기에서 n이 무한으로 발산하면
lim n→inf Σ[(2/3)^(n-k) * (1/3)^k * nCk],k=0~m
이 때 식의 값은 1/2이 나오게 되죠.
따라서 충분히 큰 값 x를 취했을 때 x회 째 이후 모든 시행의 경우를 합하면 1의 확률로(1/2 + 1/4 + 1/8 + ...) x회 당시의 기준점보다 왼쪽에 있게 됩니다.
물론 오른쪽에 있을 확률 또한 마찬가지고요.
이 결과를 분석한다면 개구리가 좌표계 내의 모든 점을 지난다는 것을 알 수 있죠.(무한한 시행 이후 각 점에 대해 개구리가 그 점을 지났을 확률이 1) 그나저나 나는 왜 이 고생을 하고있담...