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2013-12-20 22:19:30
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그럼 일단 f(x), g(x)의 정의부터 보면
f(x)의 정의역은 양의 실수, 공역은 실수
g(x)의 정의역은 실수, 공역은 양의 실수
C는 실수의 부분집합
A = {x | f(x) ∈ C}에서 f(x)의 공역이 실수일 수 있으므로
f(x)의 치역을 실수의 부분집합으로 한정하면 f(x)의 정의역은 양의 실수의 부분집합이 된다.
따라서 A는 양의 실수의 부분집합
A = {x | f(x) ∈ C}일 때 x∈A인 x가 될 수 있는 건 양의 실수뿐이므로
x = g(y)로 두자. 함수 g의 공역은 양의 실수이고 a > 0인 모든 a에 대해 a = g(b)인 어떤 실수 b가 존재하므로 이렇게 두는 데 무리가 없음을 알 수 있다.
그러면 y는 함수 g의 역함수인 f와 x로 다음과 같이 나타낼 수 있다. y = f(x)
이제 A = {x | f(x) ∈ C}에서 x를 g(y)로 치환하면
A = {g(y) | f(g(y)) ∈ C}
f(g(y)) = y이므로 위의 식은
A = {g(y) | y ∈ C}와 같다.
∴ A = {g(x) | x ∈ C}