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2016-05-11 08:59:01
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Manifold 의 정의는 매우 까다롭습니다만, 중등교육 수준에서 괜찮은 비유는 좌표로 "환산" 할 수 있다고 이해하시면 편하지 싶네요.
예를들면 자기 자신과 겹치지 않는 어떤 곡선이 있다고 치면, 얼른 보기엔 2차원 도형 같지만 사실 곡선 위의 점만 생각하면 기준점을 잡고 기준점으로 부터의 거리마다 눈금을 그어봅시다. 그러면 곡선 위의 모든 점이 1차원 좌표로 표현될 것입니다.
지구의 경우 구면이지만, 위도와 경도로 2차원 좌표계로 위치가 표시되구요. 물론, 통찰력 있는 분이라면 북극과 남극의 경도는 얼마지? 라는 질문을 하실 수 있겠고, 매우 중요한 질문입니다만, "그냥 0이라고 하자" 혹은 "잘 정의하고 넘어갈 수 있다" 정도로 생각하고 잠시 미루어두도록 합시다.
즉 다양체는 더 고차원의 공간에서 정의되나 낮은 차원과 "어떤 동질성" 을 가지는 물체라고 생각할 수 있습니다.
위에 다른 댓글쓴이님이 언급하셨듯이, 우주 (3차원, 더 고차원)에서 보면 지구가 곡면인 것을 알지만 지구 위를 2차원처럼 돌아다니는 우리 처럼요.
공간의 조각을 이어붙였다는 말들은 지구본에 위도 경도선을 그려둔 것을 상상해보시면 됩니다. 마치 퀼트처럼 곡면 네모들이 이어붙여진 모양이죠. 만일 위도 경도 선을 정말 촘촘하게 (Arbitrarily small) 그어두면 그 한 조각은 정말 2차원에 가까울 거에요. 2차원의 조각들을 기워붙여서 만들어진 물체는 결국 다 2차원 좌표로 표현될 수 있을겁니다.
마찬가지로 3차원 manifold 는 수많은 정육면체를 기워붙여 만들어낸 모양일 것이고, 상하좌우앞뒤로 움직이며 3개의 좌표로 표시할 수 있을겁니다. 그러나 우리의 3차원적 시각 인지로는 그러면 그냥 꽉찬 공간 말고는 상상할 수 없는 모양이지요. 3차원 다양체의 진정한 모습은 4 혹은 더 높은 차원의 공간에서 정의되어야만이 의미를 가질 수 있습니다.