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2016-02-06 06:47:02
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문제를 보아하니 뭔가 재미있는 생각이 떠올라서 댓글로 적어보아요 확률과는 상관이 없는 수학이야기 ㅋㅋ
위 경우에서 각 버스에 40, 40, 40, 40 이었다고 하면 당연히 결과값은 40이 될겁니다,
그리고 아주아주 극단적으로, 0, 0, 0, 160 이었다고 하면 160이 되겠지요.
그리고 글쓴이께서 예로 든 조합은 40보다 살짝 크네요? 그러면 여기서 이런 생각이 듭니다.
혹시, 이 값의 최소값이 40이고 같을 조건은 A=B=C=D=40 이 아닐까?
물론 4개로 바로 해도 되지만, 간단하게 버스가 2대라고 가정하고 출발해봅시다.
버스 A에 a명, 버스 B에 b명이 타고있다면, 평균적으로 (a+b)/2 명이 되고,
기대값은 a*a/(a+b) + b*b/(a+b) = (a^2+b^2)/(a+b) 입니다.
이 둘을 비교해봅시다. 둘 모두에 2(a+b)를 곱해주면, 2(a+b)*( (a^2+b^2)/(a+b) - (a+b)/2) = ( 2(a^2 + b^2) - (a + b)^2 ) = (a-b)^2 ≥ 0
오호라, 차가 항상 0 이상이고, a=b 일때만 등호가 성립하는 것을 알 수가 있군요.
위 경우에서 기대값쪽에 있던 (a+b) 분모와 평균값쪽에 있던 2를 곱해서 완전제곱식을 만드는 아이디어를 얻었으니, n대의 버스로 확장을 시도해봅시다.
D = n * (a1^2 + a2^2 + ... + an^2) - (a1 + a2 + ... + )^2 = (n-1) * (a1^2 + a2^2 + ... + an^2) - 2a1*a2 - 2a1*a3 - ...- 2a1*an - 2a2*a3 - ...
(a1 + a2 + ... + )^2 로부터 ai^2 이 1개씩 나와서 빠지니 제곱항은 n-1개, 그리고 2개 짝으로 의해 생기는 2ai*aj 항이 nC2 개 생겼습니다.
그런데 특정한 i 에 대하여 2ai*aj 꼴의 항은 n-1개 입니다. 자기 자신을 제외한 1~n의 숫자와 짝을 이루니까요. 즉 ai^2 - 2ai*aj + aj^2 = (ai - aj)^2 으로 묶을 때 정확히 짝이 맞아 떨어집니다. 다시말해
D = (a1 - a2)^2 + (a1 - a3)^2 + ... + (a1 - an)^2 + (a2 - a3)^2 + ... = ∑(i≠j≤n) (ai - aj)^2 ≥ 0
즉 4대가 아닌 몇대의 버스든 간에 어떤 학생이 타고 온 버스 탑승인원의 평균 기대값은 각 버스의 탑승인원의 평균보다 항상 같거나 크며,
정확히 같은 인원으로 배분되어 탄 경우에만 등호가 성립한다는 것을 알 수 있습니다.